$\text{a)}9a^2+4b^2\ge 12ab$     

$9a^2-12ab+4b^2\ge 0$  

${\left(3a\right)}^2-2\cdot 3a\cdot 2b+{\left(2b\right)}^2\ge 0$

${\left(3a-2b\right)}^2\ge 0$  

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny a więc nierówność jest spełniona dla każdego a, b rzeczywistego.

---

$\text{b)}\frac{1}{4}{a}^2+\frac{1}{9}{b}^2\ge \frac{1}{3}ab$  

$\frac{1}{4}{a}^2-\frac{1}{3}ab+\frac{1}{9}{b}^2\ge 0$  

${\left(\frac{1}{2}a\right)}^2-2\cdot \frac{1}{2}a\cdot \frac{1}{3}b+{\left(\frac{1}{3}b\right)}^2\ge 0$  

${\left(\frac{1}{2}a-\frac{1}{3}b\right)}^2\ge 0$  

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny a więc nierówność jest spełniona dla każdego a, b rzeczywistego.

---

$\text{c)}a\left(\sqrt{6}b-a\right)\le \frac{3}{2}{b}^2$  

$\sqrt{6}ab-a^2\le \frac{3}{2}{b}^2$  

$0\le a^2-\sqrt{6}ab+\frac{3}{2}{b}^2$  

$0\le a^2-2\cdot a\cdot \frac{\sqrt{6}}{2}b+{\left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}b\right)}^2$  

$0\le a^2-2\cdot a\cdot \frac{\sqrt{6}}{2}b+{\left(\frac{\sqrt{6}}{2}b\right)}^2$  

$0\le {\left(a-\frac{\sqrt{6}}{2}b\right)}^2$  

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny a więc nierówność jest spełniona dla każdego a, b rzeczywistego.