$\text{a)}$  

Jeśli kąt rozwarcia stożka ma 60°, to przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym (wynika to stąd, że przekrój osiowy stożka to trójkąt równoramienny, którego kąt między ramionami to właśnie kąt rozwarcia stożka, kąty przy podstawie mają więc miary (180°-60°):2=120°:2=60°). 

Tworząca stożka oraz średnica podstawy stożka mają więc jednakową długość:

Zachodzi więc równość:

$l=2r$  

 

Wiemy, ile jest równe pole powierzchni bocznej, więc możemy zapisać równanie:

$\pi rl=8\pi$  

$\pi \cdot r\cdot 2r=8\pi$  

$2\pi r^2=8\pi \mid :2\pi$  

$r^2=4$  

$r=2\left[cm\right]$  

$l=2r=2\cdot 2=4\left[cm\right]$  

 

Wysokość ostrosłupa to wysokość trójkąta równobocznego o boku 4 cm. 

$h=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\left[cm\right]$  

 

Obliczamy objętość stożka:

$V=\frac{1}{3}\pi \cdot 2^2\cdot 2\sqrt{3}=\frac{1}{3}\pi \cdot 4\cdot 2\sqrt{3}=\frac{8}{3}\sqrt{3}\pi \left[c{m}^3\right]$  

---

$\text{b)}$  

Oznaczmy promień podstawy jako r. Wiemy, ile wynosi pole podstawy stożka, więc możemy zapisać:

$\pi r^2=108\pi \mid :\pi$  

$r^2=108$  

$r=\sqrt{108}=\sqrt{36}\cdot \sqrt{3}=6\sqrt{3}\left[cm\right]$  

 

Wiemy, że kąt rozwarcia stożka wynosi 120°. Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Wiemy, że sinus kąta w trójkącie prostokątnym to stosunek długości przyprostokątnej znajdującej się naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej. 

$\sin {60}^o=\frac{6\sqrt{3}}{l}$  

$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{l}\mid :\sqrt{3}$  

$\frac{1}{2}=\frac{6}{l}$  

$l=12\left[cm\right]$  

 

Obliczamy pole powierzchni całkowitej stożka:

$P_c=\pi \cdot {\left(6\sqrt{3}\right)}^2+\pi \cdot 6\sqrt{3}\cdot 12=\pi \cdot 36\cdot 3+72\sqrt{3}\pi =108\pi +72\sqrt{3}\pi =36\pi \left(3+2\sqrt{3}\right)\left[c{m}^2\right]$