$\text{a)}$  

Znamy długość krawędzi podstawy. Odcinek SE stanowi połowę krawędzi podstawy:

$\left|SE\right|=\frac{1}{2}\cdot 12=6$  

 

Znamy także długość odcinka SW - jest to wysokość ostrosłupa:

$\left|SW\right|=2\sqrt{3}$  

 

Tangens kąta w trójkącie prostokątnym to stosunek długości przyprostokątnej naprzeciw tego kąta do długości drugiej przyprostokątnej:

$\text{tg}\alpha =\frac{\left|SW\right|}{\left|SE\right|}$  

$\text{tg}\alpha =\frac{2\sqrt{3}}{6}$  

$\text{tg}\alpha =\frac{\sqrt{3}}{3},\text{stąd}\alpha ={30}^o$  

---

$\text{b)}$  

Znamy długość przekątnej podstawy:

$\left|AC\right|=6$  

 

Wiemy, że długość przekątnej kwadratu o boku a jest dana wzorem a√2. Oznaczmy więc długość krawędzi podstawy jako a. Wtedy możemy zapisać równanie:

$a\sqrt{2}=6$  

$a=\frac{6}{\sqrt{2}}=\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$  

 

Wiemy już, jaką długość mają krawędzie podstawy:

$\left|AB\right|=\left|BC\right|=\left|CD\right|=\left|AD\right|=3\sqrt{2}$  

 

Odcinek SE stanowi połowę krawędzi podstawy:

$\left|SE\right|=\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$  

 

Zauważmy, że trójkąt WSE jest prostokątny równoramienny, ponieważ ma dwa kąty o jednakowych miarach (trójkąt ma kąty 90°, 45°, więc trzeci kąt ma miarę 180°-90°-45°=45°). Odcinki SE i SW mają więc jednakową długość:

$\left|SW\right|=\left|SE\right|=\frac{3\sqrt{2}}{2}$  

 

Obliczamy pole podstawy ostrosłupa:

$P_p=3\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{2}=9\cdot 2=18\left[c{m}^2\right]$  

 

Obliczamy objętość ostrosłupa:

$V=\frac{1}{3}\cdot 18\cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}={\sout{6}}^3\cdot \frac{3\sqrt{2}}{{\sout{2}}^1}=9\sqrt{2}\left[c{m}^3\right]$  

---

$\text{c)}$  

  

$\frac{9}{\left|EW\right|}=\sin {60}^o$  

$\frac{9}{\left|EW\right|}=\frac{\sqrt{3}}{2}\mid \cdot \text{|}EW\text{|}$  

$9=\frac{\sqrt{3}}{2}\left|EW\right|\mid \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}$  

$\left|EW\right|=\frac{18}{\sqrt{3}}=\frac{18\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{18\sqrt{3}}{3}=6\sqrt{3}$  

 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy, jaką długość ma odcinek ES:

$9^2+{\left|ES\right|}^2={\left(6\sqrt{3}\right)}^2$  

$81+{\left|ES\right|}^2=36\cdot 3$  

$81+{\left|ES\right|}^2=108\mid -81$  

${\left|ES\right|}^2=27$  

$\left|ES\right|=\sqrt{27}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{3}=3\sqrt{3}$  

 

Odcinek ES stanowi połowę boku BC:

$\left|BC\right|=2\cdot 3\sqrt{3}=6\sqrt{3}$  

 

Narysujmy ścianę boczną (odcinek BC to jej podstawa, a odcinek EW to jej wysokość).

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczymy, jaką długość ma krawędź boczna. 

${\left(3\sqrt{3}\right)}^2+{\left(6\sqrt{3}\right)}^2=x^2$  

$9\cdot 3+36\cdot 3=x^2$  

$27+108=x^2$  

$x^2=135$  

$x=\sqrt{135}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{15}=3\sqrt{15}\left[cm\right]$