Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ...- Zadanie 12: Liczy się matematyka 2

Rozwiązanie

a) Zauważmy, że przedstawioną bryłę możemy podzilić na dwa identyczne prostopadłościany o wymiarach 1 x 1 x 2.

Obliczamy objętość jednego prostopadłościanu:

$V_{p} = 1 \cdot 1 \cdot 2 = 2 [j^{3}]$

Obliczamy objętość bryły:

$V_{b} = 2 \cdot V_{p} = 2 \cdot 2 = \underline{\underline{4 [j^{3}]}}$

Przedstawiona bryła posiada 8 ścian: dwie ściany w kształcie litery L, trzy o wymiarach 1 x 1, dwie o wymiarach 1 x 2 oraz jednej o wymiarach 1 x 3.

Obliczamy pole ściany w kształcie litery L (ścianę tę możemy podzielić na dwa takie same prostokąty o wymiarach 1 x 2):

$P_{L} = 2 \cdot 1 \cdot 2 = 4 [j^{2}]$

Obliczamy pole powierzchni całej bryły:

$P_{c} = 2 \cdot P_{L} + 3 \cdot 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 \cdot 3 = 2 \cdot 4 + 3 + 4 + 3 = 8 + 10 = \underline{\underline{18 [j^{2}]}}$

b) Przedstawioną na rysunku bryłę możemy podzilić na 3 prostopadłościany.

Wymiary najmniejszego z prostopadłościanów wynoszą 1 x 1 x 1:

$V_{I} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 [j^{3}]$

Wymiary drugiego prostopadłościanu wynoszą 1 x 1 x 2:

$V_{I I} = 1 \cdot 1 \cdot 2 = 2 [j^{3}]$

Wymiary największego prostopadłościanu wynoszą 1 x 1 x 6:

$V_{I I I} = 1 \cdot 1 \cdot 6 = 6 [j^{3}]$

Obliczamy objętość bryły:

$V_{b} = 1 + 2 + 6 = \underline{\underline{9 [j^{3}]}}$

Przedstawiona bryła posiada 14 ścian: dwie ściany w kształcie dwunastoboków, sześć o wymiarach 1 x 1, cztery o wymiarach 1 x 2 oraz dwie o wymiarach 1 x 3.

Obliczamy pole ściany w kształcie dwunastoboku (ścianę tę możemy podzielić na trzy prostokąty o wymiarach: 1 x 1, 1 x 2 oraz 1 x 6):

$P_{s} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 6 = 1 + 2 + 6 = 9 [j^{2}]$

Obliczamy pole powierzchni całej bryły:

$P_{c} = 2 \cdot P_{s} + 6 \cdot 1 \cdot 1 + 4 \cdot 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 \cdot 3 = 2 \cdot 9 + 6 + 8 + 6 = 18 + 20 = \underline{\underline{38 [j^{2}]}}$