$\{\begin{array}{l}x+2y=3\mid \cdot \left(-4\right)\\ 4x+5y=6\end{array}$  

$+\{\begin{array}{l}-4x-8y=-12\\ 4x+5y=6\end{array}$   

$-3y=-6\mid :\left(-3\right)$  

$y=2$  

Obliczoną wartość y podstawiamy do jednego z równań wyjściowych i obliczamy x.   

$x+2\cdot 2=3$  

$x+4=3\mid -4$  

$x=-1$  

 

$\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=2\end{array}$  

 

$\{\begin{array}{l}13x+14y=15\mid -14y\\ 16x+17y=18\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}13x=15-14y\mid :13\\ 16x+17y=18\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=\frac{15-14y}{13}\\ 16x+17y=18\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=\frac{15-14y}{13}\\ 16\cdot \frac{15-14y}{13}+17y=18\end{array}$  

$\ast \frac{16}{13}\cdot \left(15-14y\right)+17y=18$  

  $\frac{16\cdot 15}{13}-\frac{16\cdot 14y}{13}+17y=18$  

$\frac{240}{13}-\frac{224}{13}y+17y=18\mid -\frac{240}{13}$  

 

  $-17\frac{3}{13}y+17y=18-\frac{240}{13}$  

 

   $-\frac{3}{13}y=18-18\frac{6}{13}$  

$-\frac{3}{13}y=-\frac{6}{13}\mid :\left(-\frac{3}{13}\right)$  

$y=\left(-\frac{6}{13}\right):\left(-\frac{3}{13}\right)=\frac{6}{{\sout{13}}^1}\cdot \frac{{\sout{13}}^1}{3}=\frac{6}{3}=2$  

 

 

Obliczoną wartość y podstawiamy do jednego z równań wyjściowych i obliczamy x.   

  $13x+14\cdot 2=15$  

$13x+28=15\mid -28$  

$13x=-13\mid :13$  

$x=-1$  

 

 

$\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=2\end{array}$

 

$\{\begin{array}{l}217x+218y=219\\ 220x+221y=222\mid \cdot \left(-1\right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}217x+218y=219\\ -220x-221y=-222\end{array}$    

Dla ułatwienia dodajmy równania stronami i 

 

$+\{\begin{array}{l}217x+218y=219\\ -220x-221y=-222\end{array}$  

$\underline{}$    

$-3x-3y=-3\mid :\left(-3\right)$  

$x+y=1$  

Otrzymaliśmy trzecie równanie, które jest spełnione dla szukanej pary liczb. Umieśćmy je w układzie równań zamiast jednego z równań.

$\{\begin{array}{l}x+y=1\mid -y\\ 217x+218y=219\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=1-y\\ 217\left(1-y\right)+218y=219\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=1-y\\ 217-217y+218y=219\mid -217\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=1-y\\ y=2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=1-2\\ y=2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=2\end{array}$  

Rozwiązaniem każdego z zapisanych równań jest para liczb -1 i 2.

 

Piszemy kolejne układy równań w których współczynniki przy x, y i wyrazy wolne są kolejnymi liczbami naturalnymi.

$\{\begin{array}{l}2000x+2001y=2002\mid \cdot \left(-1\right)\\ 2003x+2004y=2005\end{array}$  

$+\{\begin{array}{l}-2000x-2001y=-2002\\ 2003x+2004y=2005\end{array}$  

$\underline{}$  

$3x+3y=3\mid :3$  

$x+y=1$  

$\{\begin{array}{l}2000x+2001y=2002\\ x+y=1\mid -y\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}2000x+2001y=2002\\ x=1-y\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}2000\left(1-y\right)+2001y=2002\\ x=1-y\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}2000-2000y+2001y=2002\mid -2000\\ x=1-y\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=2\\ x=1-2=-1\end{array}$