Matematyka

Autorzy:Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2014

Rozwiąż nierówność 4.75 gwiazdek na podstawie 8 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Matematyka

W każdym przykładzie musimy rozpatrzeć dwa przypadki - ze względu na znak wyrażenia znajdującego się pod wartością bezwzględną. 

 

 

`a)` 

`1)\ x in (-infty;\ 0)` 

`\ \ \ \ |x|<=x` 

`\ \ \ \ -x<=x\ \ \ |-x` 

`\ \ \ \ -2x<=0\ \ \ |:(-2)` 

`\ \ \ \ x>=0` 

W zadanym przedziale nierówność nie ma rozwiązania. 

 

`2)\ x in <<0;\ +infty)` 

`\ \ \ \ |x|<=x` 

`\ \ \ \ x<=x\ \ \ \ |-0` 

`\ \ \ \ 0<=0` 

Powyższa nierówność jest zawsze prawdziwa, dlatego rozwiązaniem jest cały zadany przedział. 

 

Rozwiązanie nierówności:

`ul(ul(x in <<0;\ +infty)))` 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`b)` 

`1)\ x in (-infty;\ 0)` 

`\ \ \ \ |x|<2x+3` 

`\ \ \ \ -x<2x+3\ \ \ \ |-2x` 

`\ \ \ \ -3x<3\ \ \ \ |:(-3)` 

`\ \ \ \ x> -1` 

Rozwiązanie pierwszej części w zadanym przedziale:

`(x > -1\ \ \ "i"\ \ \ x in (-infty;\ 0))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in (-1;\ 0))`  

 

`2)\ x in <<0;\ +infty)` 

`\ \ \ \ |x|<2x+3` 

`\ \ \ \ x<2x+3\ \ \ \ |-2x` 

`\ \ \ \ -x<3\ \ \ |*(-1)` 

`\ \ \ x> -3` 

Rozwiązanie drugiej części w zadanym przedziale:

`(x> -3\ \ \ "i"\ \ \ x in <<0;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<0;\ +infty)`     

 

Rozwiązanie nierówności to suma otrzymanych przedziałów:

`ul(ul(x in (-1;\ +infty)))` 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`c)` 

`1)\ x in (-infty;\ 3)` 

`\ \ \ \ |x-3|<=1/2x` 

`\ \ \ \ -(x-3)<=1/2x` 

`\ \ \ \ -x+3<=1/2x\ \ \ \|*2` 

`\ \ \ \ -2x+6<=x\ \ \ |-x` 

`\ \ \ \ -3x+6<=0\ \ \ |-6`  

`\ \ \ \ -3x<=-6\ \ \ |:(-3)` 

`\ \ \ \ x>=2` 

Rozwiązanie pierwszej części w zadanym przedziale:

`(x>=2\ \ \ "i"\ \ \ x in (-infty;\ 3))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<2;\ 3))` 

 

 

`2)\ x in <<3;\ +infty)` 

`\ \ \ \ |x-3|<=1/2x` 

`\ \ \ \ x-3<=1/2x \ \ |-1/2x` 

`\ \ \ \ 1/2x-3<=0\ \ \ |+3` 

`\ \ \ \ 1/2x<=3\ \ \ |*2` 

`\ \ \ \ x<=6`   

Rozwiązanie drugiej części w zadanym przedziale:

`(x <=6\ \ \ "i"\ \ \ x in<<3;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<3;\ 6>>)` 

 

Rozwiązanie nierówności to suma otrzymanych przedziałów:

`ul(ul(x in <<2;\ 6>>))`  

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`d)` 

`1)\ x in (-infty;\ 4)` 

`\ \ \ \ |x-4|>=x+4` 

`\ \ \ \ -(x-4)>=x+4` 

`\ \ \ \ -x+4>=x+4\ \ \ |-x` 

`\ \ \ \ -2x+4>=4\ \ \ |-4` 

`\ \ \ \ -2x>=0\ \ \ \ |:(-2)` 

`\ \ \ \ x<=0`   

Rozwiązanie pierwszej części w zadanym przedziale:

`(x<=0\ \ \ "i"\ \ \ x in (-infty;\ 4))\ \ \ => \ \ \ ul(x in (-infty;\ 0>>` 

 

 

`2)\ x in <<4;\ +infty)` 

`\ \ \ \ |x-4|>=x+4` 

`\ \ \ \ x-4>=x+4\ \ \ \ |-x` 

`\ \ \ \ -4>=4` 

W zadanym przedziale nierówność nie ma rozwiązań. 

 

Rozwiązanie nierówności:

`ul(ul(x in (-infty;\ 0>>))`  

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`e)` 

`1)\ x in (-infty;\ 3)` 

`\ \ \ \ |3x-9|>5-x` 

`\ \ \ -(3x-9)>5-x` 

`\ \ \ \ -3x+9>5-x\ \ \ |+x` 

`\ \ \ \ -2x+9>5\ \ \ |-9` 

`\ \ \ \ -2x> -4\ \ \ \ |:(-2)` 

`\ \ \ \ x<2` 

Rozwiązanie pierwszej części w zadanym przedziale:

`(x<2\ \ \ "i"\ \ \ x in (-infty;\ 3))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in (-infty;\ 2))` 

 

`2)\ x in <<3;\ +infty)` 

`\ \ \ \ |3x-9|>5-x` 

`\ \ \ \ 3x-9>5-x\ \ \ |+x` 

`\ \ \ \ 4x-9>5\ \ \ |+9` 

`\ \ \ \ 4x>14 \ \ \ |:4` 

`\ \ \ \ x>14/4` 

`\ \ \ \ x>7/2`        

`\ \ \ \ x> 3 1/2` 

Rozwiązanie drugiej części w zadanym przedziale:

`(x>3 1/2\ \ \ "i"\ \ \ x in <<3;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in (3 1/2;\ +infty))` 

 

Rozwiązanie nierówności to suma otrzymanych przedziałów:

`ul(ul(x in (-infty;\ 2)uu(3 1/2;\ +infty)))` 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`f)` 

`1)\ x in (-infty;\ 1/2)` 

`\ \ \ \ |2-4x|<2x+4` 

`\ \ \ \ 2-4x<2x+4\ \ \ |-2x` 

`\ \ \ \ 2-6x<4\ \ \ |-2` 

`\ \ \ -6x<2 \ \ \ |:(-6)` 

`\ \ \ \ x > -2/6` 

`\ \ \ \ x> -1/3` 

Rozwiązanie pierwszej części w zadanym przedziale:

`(x> -1/3\ \ \ "i"\ \ \ x in (-infty;\ 1/2))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in (-1/3;\ 1/2))` 

 

`2)\ x in <<1/2;\ +infty)` 

`\ \ \ \ |2-4x|<2x+4` 

`\ \ \ \ -(2-4x)<2x+4` 

`\ \ \ \ -2+4x<2x+4\ \ \ |-2x` 

`\ \ \ \ -2+2x<4\ \ \ |+2` 

`\ \ \ \ 2x<6\ \ \ |:2` 

`\ \ \ \ x<3` 

Rozwiązanie drugiej części w zadanym przedziale:

`(x<3\ \ \ "i"\ \ \ x in <<1/2;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<1/2;\ 3))` 

 

Rozwiązanie nierówności to suma otrzymanych przedziałów:

`ul(ul(x in (-1/3;\ 3)))`