Matematyka

Rozwiąż nierówność 4.75 gwiazdek na podstawie 8 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Matematyka

W każdym przykładzie musimy rozpatrzeć dwa przypadki - ze względu na znak wyrażenia znajdującego się pod wartością bezwzględną. 

 

 

`a)` 

`1)\ x in (-infty;\ 0)` 

`\ \ \ \ |x|<=x` 

`\ \ \ \ -x<=x\ \ \ |-x` 

`\ \ \ \ -2x<=0\ \ \ |:(-2)` 

`\ \ \ \ x>=0` 

W zadanym przedziale nierówność nie ma rozwiązania. 

 

`2)\ x in <<0;\ +infty)` 

`\ \ \ \ |x|<=x` 

`\ \ \ \ x<=x\ \ \ \ |-0` 

`\ \ \ \ 0<=0` 

Powyższa nierówność jest zawsze prawdziwa, dlatego rozwiązaniem jest cały zadany przedział. 

 

Rozwiązanie nierówności:

`ul(ul(x in <<0;\ +infty)))` 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`b)` 

`1)\ x in (-infty;\ 0)` 

`\ \ \ \ |x|<2x+3` 

`\ \ \ \ -x<2x+3\ \ \ \ |-2x` 

`\ \ \ \ -3x<3\ \ \ \ |:(-3)` 

`\ \ \ \ x> -1` 

Rozwiązanie pierwszej części w zadanym przedziale:

`(x > -1\ \ \ "i"\ \ \ x in (-infty;\ 0))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in (-1;\ 0))`  

 

`2)\ x in <<0;\ +infty)` 

`\ \ \ \ |x|<2x+3` 

`\ \ \ \ x<2x+3\ \ \ \ |-2x` 

`\ \ \ \ -x<3\ \ \ |*(-1)` 

`\ \ \ x> -3` 

Rozwiązanie drugiej części w zadanym przedziale:

`(x> -3\ \ \ "i"\ \ \ x in <<0;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<0;\ +infty)`     

 

Rozwiązanie nierówności to suma otrzymanych przedziałów:

`ul(ul(x in (-1;\ +infty)))` 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`c)` 

`1)\ x in (-infty;\ 3)` 

`\ \ \ \ |x-3|<=1/2x` 

`\ \ \ \ -(x-3)<=1/2x` 

`\ \ \ \ -x+3<=1/2x\ \ \ \|*2` 

`\ \ \ \ -2x+6<=x\ \ \ |-x` 

`\ \ \ \ -3x+6<=0\ \ \ |-6`  

`\ \ \ \ -3x<=-6\ \ \ |:(-3)` 

`\ \ \ \ x>=2` 

Rozwiązanie pierwszej części w zadanym przedziale:

`(x>=2\ \ \ "i"\ \ \ x in (-infty;\ 3))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<2;\ 3))` 

 

 

`2)\ x in <<3;\ +infty)` 

`\ \ \ \ |x-3|<=1/2x` 

`\ \ \ \ x-3<=1/2x \ \ |-1/2x` 

`\ \ \ \ 1/2x-3<=0\ \ \ |+3` 

`\ \ \ \ 1/2x<=3\ \ \ |*2` 

`\ \ \ \ x<=6`   

Rozwiązanie drugiej części w zadanym przedziale:

`(x <=6\ \ \ "i"\ \ \ x in<<3;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<3;\ 6>>)` 

 

Rozwiązanie nierówności to suma otrzymanych przedziałów:

`ul(ul(x in <<2;\ 6>>))`  

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`d)` 

`1)\ x in (-infty;\ 4)` 

`\ \ \ \ |x-4|>=x+4` 

`\ \ \ \ -(x-4)>=x+4` 

`\ \ \ \ -x+4>=x+4\ \ \ |-x` 

`\ \ \ \ -2x+4>=4\ \ \ |-4` 

`\ \ \ \ -2x>=0\ \ \ \ |:(-2)` 

`\ \ \ \ x<=0`   

Rozwiązanie pierwszej części w zadanym przedziale:

`(x<=0\ \ \ "i"\ \ \ x in (-infty;\ 4))\ \ \ => \ \ \ ul(x in (-infty;\ 0>>` 

 

 

`2)\ x in <<4;\ +infty)` 

`\ \ \ \ |x-4|>=x+4` 

`\ \ \ \ x-4>=x+4\ \ \ \ |-x` 

`\ \ \ \ -4>=4` 

W zadanym przedziale nierówność nie ma rozwiązań. 

 

Rozwiązanie nierówności:

`ul(ul(x in (-infty;\ 0>>))`  

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`e)` 

`1)\ x in (-infty;\ 3)` 

`\ \ \ \ |3x-9|>5-x` 

`\ \ \ -(3x-9)>5-x` 

`\ \ \ \ -3x+9>5-x\ \ \ |+x` 

`\ \ \ \ -2x+9>5\ \ \ |-9` 

`\ \ \ \ -2x> -4\ \ \ \ |:(-2)` 

`\ \ \ \ x<2` 

Rozwiązanie pierwszej części w zadanym przedziale:

`(x<2\ \ \ "i"\ \ \ x in (-infty;\ 3))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in (-infty;\ 2))` 

 

`2)\ x in <<3;\ +infty)` 

`\ \ \ \ |3x-9|>5-x` 

`\ \ \ \ 3x-9>5-x\ \ \ |+x` 

`\ \ \ \ 4x-9>5\ \ \ |+9` 

`\ \ \ \ 4x>14 \ \ \ |:4` 

`\ \ \ \ x>14/4` 

`\ \ \ \ x>7/2`        

`\ \ \ \ x> 3 1/2` 

Rozwiązanie drugiej części w zadanym przedziale:

`(x>3 1/2\ \ \ "i"\ \ \ x in <<3;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in (3 1/2;\ +infty))` 

 

Rozwiązanie nierówności to suma otrzymanych przedziałów:

`ul(ul(x in (-infty;\ 2)uu(3 1/2;\ +infty)))` 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`f)` 

`1)\ x in (-infty;\ 1/2)` 

`\ \ \ \ |2-4x|<2x+4` 

`\ \ \ \ 2-4x<2x+4\ \ \ |-2x` 

`\ \ \ \ 2-6x<4\ \ \ |-2` 

`\ \ \ -6x<2 \ \ \ |:(-6)` 

`\ \ \ \ x > -2/6` 

`\ \ \ \ x> -1/3` 

Rozwiązanie pierwszej części w zadanym przedziale:

`(x> -1/3\ \ \ "i"\ \ \ x in (-infty;\ 1/2))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in (-1/3;\ 1/2))` 

 

`2)\ x in <<1/2;\ +infty)` 

`\ \ \ \ |2-4x|<2x+4` 

`\ \ \ \ -(2-4x)<2x+4` 

`\ \ \ \ -2+4x<2x+4\ \ \ |-2x` 

`\ \ \ \ -2+2x<4\ \ \ |+2` 

`\ \ \ \ 2x<6\ \ \ |:2` 

`\ \ \ \ x<3` 

Rozwiązanie drugiej części w zadanym przedziale:

`(x<3\ \ \ "i"\ \ \ x in <<1/2;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<1/2;\ 3))` 

 

Rozwiązanie nierówności to suma otrzymanych przedziałów:

`ul(ul(x in (-1/3;\ 3)))` 

DYSKUSJA
Informacje
MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony
Autorzy: Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Mnożenie pisemne
  1. Czynniki zapisujemy jeden pod drugim wyrównując do prawej.

    mnozenie1
     
  2. Mnożymy cyfrę jedności drugiego czynnika przez wszystkie cyfry pierwszego czynnika, a otrzymany wynik zapisujemy pod kreską, wyrównując do cyfry jedności. Gdy przy mnożeniu jednej z cyfr drugiego czynnika przez jedności, dziesiątki i setki drugiego czynnika wystąpi wynik większy od 9, to cyfrę jedności tego wyniku zapisujemy pod kreską, natomiast cyfrę dziesiątek przenosimy do dziesiątek lub setek i dodajemy go do wyniku następnego mnożenia.

    W naszym przykładzie:
    4•3=12 , czyli 2 wpisujemy pod cyframi jedności, a 1 przenosimy do dziesiątek, następnie: 4•1=4, ale uwzględniamy przeniesioną 1, czyli mamy 4+1=5 i 5 wpisujemy pod cyframi dziesiątek, następnie mamy 4•1=4 i 4 wpisujemy pod cyframi setek.

    mnozenie2
     
  3. Mnożymy kolejną cyfrę drugiego czynnika przez wszystkie cyfry pierwszego czynnika, a otrzymamy wynik zapisujemy pod poprzednim, wyrównując do cyfry dziesiątek.

    W naszym przykładzie:
    1•3=3 i 3 zapisujemy pod cyframi dziesiątek, następnie 1•1=1 i 1 wpisujemy pod cyframi setek, oraz 1•1=1 i 1 wpisujemy pod cyframi tysięcy.

    mnozenie3
     
  4. Po wykonaniu mnożeń, otrzymane dwa wyniki dodajemy do siebie według zasad dodawania pisemnego.

    mnozenie4
     
  5. W rezultacie wykonanych kroków otrzymujemy wynik mnożenia pisemnego. Iloczyn liczby 113 oraz 14 wynosi 1572.

Porównywanie ułamków

Porównywanie dwóch ułamków polega na stwierdzeniu, który z nich jest mniejszy, który większy.

  • Porównywanie ułamków o takich samych mianownikach
    Jeżeli ułamki zwykłe mają takie same mianowniki, to ten jest większy, który ma większy licznik

    Przykład:

    $$3/8$$ < $$5/8$$
     
  • Porównywanie ułamków o takich samych licznikach
    Jeżeli ułamki zwykłe mają takie same liczniki, to ten jest większy, który ma mniejszy mianownik.

    Przykład:

    $$4/5$$ > $$4/9$$
Zobacz także
Udostępnij zadanie