a) Jeżeli wektor v jest dwa razy dłuższy od wektora u to:

$\left|\overrightarrow{v}\right|=2\cdot \left|\overrightarrow{u}\right|$  

Jeżeli wektor v ma taki sam zwrot i kierunek to:

$\overrightarrow{v}=k\cdot \overrightarrow{u},k\in R_{+}$  

$\left[x,y\right]=k\cdot \left[3,-9\right]$  

$\left[x,y\right]=\left[3k,-9k\right]$  

 

 

$\sqrt{{\left(3k\right)}^2+{\left(-9k\right)}^2}=2\cdot \sqrt{3^2+{\left(-9\right)}^2}$ $\sqrt{{\left(3k\right)}^2+{\left(-9k\right)}^2}=2\cdot \sqrt{3^2+{\left(-9\right)}^2}$  

$\sqrt{9k^2+81k^2}=2\cdot \sqrt{90}$  

$\sqrt{90}\cdot \sqrt{k^2}=2\cdot \sqrt{90}$  

$\left|k\right|=2$  

Skoro zwrot wektora ma być taki sam , to k musi być dodatnie.

$k=2$  

 

$\overrightarrow{v}=\left[3k,-9k\right]=\left[3\cdot 2,-9\cdot 2\right]=\left[6,-18\right]$  

 

b) Jeżeli wektor v jest trzy razy krótszy od wektora u to:

$3\cdot \left|\overrightarrow{v}\right|=\left|\overrightarrow{u}\right|$  

Jeżeli wektor v ma taki sam kierunek i przeciwny zwrot to:

$k\cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{u},k\in R_{-}$  

$\left[x,y\right]=\frac{1}{k}\cdot \left[3,-9\right]$  

$\left[x,y\right]=\left[\frac{3}{k},-\frac{9}{k}\right]$  

 

 

$3\cdot \sqrt{{\left(\frac{3}{k}\right)}^2+{\left(-\frac{9}{k}\right)}^2}=\sqrt{3^2+{\left(-9\right)}^2}$  

$3\cdot \sqrt{\frac{9}{k^2}+\frac{81}{k^2}}=\sqrt{90}$  

$3\cdot \sqrt{\frac{90}{k^2}}=\sqrt{90}$

$\frac{\sqrt{90}}{\sqrt{k^2}}=\frac{\sqrt{90}}{3}$  

$\frac{1}{\left|k\right|}=\frac{1}{3}$    

$\left|k\right|=3$  

Skoro zwrot wektora ma być przeciwny , to k musi być ujemne.

$k=-3$  

 

$\overrightarrow{v}=\left[\frac{3}{k},-\frac{9}{k}\right]=\left[-1,3\right]$