Rysunek poglądowy:

 

Suma długości podstaw trapezu prostokątnego jest równa 7 cm:

$a+a+b=7$  

$2a+b=7$  

 

$P_{BCD}=3$  

$P_{ABD}=4$  

zatem:

$P_{AED}=1$  

$\frac{1}{2}\cdot h\cdot b=1$    

$h\cdot b=2$  

$h=\frac{2}{b}$  

 

$P_{BED}=3$  

$\frac{1}{2}\cdot a\cdot h=3$  

$a\cdot h=6$  

$h=\frac{6}{a}$  

 

A więc:

$\frac{2}{b}=\frac{6}{a}$  

$2a=6b$  

$a=3b$  

 

Skoro sumy długości podstaw wynoszą 7 cm to:

$2a+b=7$  

$2\cdot 3b+b=7$  

$6b+b=7$  

$7b=7$  

$b=1$  

stąd

$a=3$  

 

Pole prostokąta BEDC wynosi 6 cm², wiedząc to możemy łatwo obliczyć długość wysokości trapezu:

$P_{BEDC}=h\cdot a$  

$6=h\cdot 3$  

$h=2$  

 

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta AED:

${\left|AE\right|}^2+{\left|DE\right|}^2={\left|AD\right|}^2$  

$1^2+2^2={\left|AD\right|}^2$  

$1+4={\left|AD\right|}^2$  

${\left|AD\right|}^2=5$  

$\left|AD\right|=\sqrt{5}$  

 

Obliczmy wartość wyrażenia:

$\sin \alpha +3\cdot \cos \alpha =\frac{\left|DE\right|}{\left|AD\right|}+3\cdot \frac{\left|AE\right|}{\left|AD\right|}=\frac{\left|DE\right|+3\cdot \left|AE\right|}{\left|AD\right|}=\frac{2+3\cdot 1}{\sqrt{5}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$