a)
{x2+y2=25x−y=1 ∣+y
{x2+y2=25x=1+y
{(1+y)2+y2=25x=1+y
{1+2y+y2+y2=25 ∣−25x=1+y
{−24+2y+2y2=0 ∣:2x=1+y
{y2+y−12=0x=1+y
Δ=12−4⋅1⋅(−12)=1+48=49
Δ=7
y1=2⋅1−1−7=2−8=−4
y2=2⋅1−1+7=26=3
{y=−4x=1−4 lub {y=3x=1+3
{y=−4x=−3 lub {y=3x=4
b)
{x2+y2=9x+y=2 ∣−y
{x2+y2=9x=2−y {x2+y2=9x=2−y
{(2−y)2+y2=9x=2−y
{4−4y+y2+y2=9 ∣−9x=2−y
{2y2−4y−5=0x=2−y
Δ=(−4)2−4⋅2⋅(−5)=16+40=56
Δ=56=4⋅14=214
y1=2⋅2−(−4)−214=44−214=1−2114
y2=2⋅2−(−4)+214=44+214=1+2114
{y1=1−2114x=2−(1−2114) lub {y2=1+2114x=2−(1+2114)
{y1=1−2114x=2−1+2114 lub {y2=1+2114x=2−1−2114
{y1=1−2114x=1+2114 lub {y2=1+2114x=1−2114
c)
{xy=1x+y=0 ∣−y
{xy=1x=−y
{−y2=1 ∣⋅(−1)x=−y
{y2=−1x=−y
Dowolna liczba rzeczywista podniesiona do potęgi drugiej jest dodatnia, więc równanie y2=−1 nie ma rozwiązań.
Układ sprzeczny.
d) {xy=23y=x−1 ∣+1
{xy=23y+1=x
{(3y+1)y=2 ∣−23y+1=x
{3y2+y−2=03y+1=x
{3y2+y−2=0x=3y+1
Δ=12−4⋅3⋅(−2)=1+24=25
Δ=5
y1=2⋅3−1−5=6−6=−1
y2=2⋅3−1+5=64=32
{y=−1x=3⋅(−1)+1 lub {y=32x=3⋅32+1
{y=−1x=−2 lub {y=32x=3
e)
{x2+y2=10xy=3 ∣:x
{x2+y2=10y=x3
{x2+(x3)2=10y=x3
{x2+x29=10 ∣⋅x2y=x3
{x4+9=10x2 ∣−10x2y=x3
x4+9−10x2=0
Wstawmy x2=t
t2−10t+9=0
Δ=(−10)2−4⋅1⋅9=100−36=64
Δ=8
t1=2⋅1−(−10)−8=210−8=22=1
t2=2⋅1−(−10)+8=210+8=218=9
x2=1 lub x2=9
x=1 lub x=−1 lub x=3 lub x=−3
{x=1y=3 lub {x=−1y=−3 lub {x=3y=1 lub {x=−3y=−1
f)
{x2+y2=25y=−31x2−1
{x2+(−31x2−1)2=25 ∣−25y=−31x2−1
{x2+91x4+32x2+1−25=0 ∣⋅9y=−31x2−1
{9x2+x4+6x2+9−225=0y=−31x2−1
{x4+15x2−216=0y=(−31x2−1)
x4+15x2−216=0
Wstawmy x2=t
t2+15t−216=0
Δ=152−4⋅1⋅(−216)=225+864=1089
Δ=33
t1=2⋅1−15−33=2−48=−24
t2=2⋅1−15+33=218=9
x2=−24 lub x2=9
Dowolna liczba rzeczywista podniesiona do potęgi drugiej jest dodatnia, więc x2=−24 nie ma rozwiązań.
x2=9
x=3 lub x=−3
{x=3y=−31⋅32−1 lub {x=−3y=−31⋅(−3)2−1
{x=3y=−4 lub {x=−3y=−4
