$a)$  

Przypuśćmy przeciwnie, że liczba:

$a=2\sqrt{3}+\sqrt{2}$  

jest wymierna. Wtedy:

$a-\sqrt{2}=2\sqrt{3}$  

stąd otrzymujemy kolejno:

${\left(a-\sqrt{2}\right)}^2={\left(2\sqrt{3}\right)}^2$  

$a^2-2a\sqrt{2}+{\sqrt{2}}^2=2^2\cdot {\sqrt{3}}^2$ $a^2-2a\sqrt{2}+{\sqrt{2}}^2=2^2\cdot {\sqrt{3}}^2$  

$a^2-2a\sqrt{2}+2=4\cdot 3$   

$a^2-2a\sqrt{2}+2=12\mid -2$  

$a^2-2a\sqrt{2}=10\mid -a^2$  

$-2a\sqrt{2}=10-a^2\mid :\left(-2a\right)\ne 0$  

$\sqrt{2}=\frac{a^2-10}{2a}$  

Przy założeniu, że a jest liczbą wymierną, prawa strona równości jest także liczbą wymierną z czego wynika, że √2 jest liczbą wymierną. Otrzymaliśmy sprzeczność, więc 2√3+√2 jest liczbą niewymierną.

 

 

 

$b)$  

Przypuśćmy przeciwnie, że liczba:

$a=\sqrt{3}-\sqrt{2}$  

jest wymierna. Wtedy:

$a+\sqrt{2}=\sqrt{3}$  

stąd otrzymujemy kolejno:

${\left(a+\sqrt{2}\right)}^2={\sqrt{3}}^2$  

$a^2+2a\sqrt{2}+2=3\mid -2-a^2$  

$2a\sqrt{2}=1-a^2\mid :\left(2a\right)\ne 0$  

$\sqrt{2}=\frac{1-a^2}{2a}$  

Przy założeniu, że a jest liczbą wymierną, prawa strona równości jest także liczbą wymierną z czego wynika, że √2 jest liczbą wymierną. Otrzymaliśmy sprzeczność, więc √3-√2 jest liczbą niewymierną.

 

 

$c)$  

Przypuśćmy przeciwnie, że liczba:

$a=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$  

jest wymierna. Wtedy:

$a-\sqrt{5}=\sqrt{2}+\sqrt{3}$   

stąd otrzymujemy kolejno:

${\left(a-\sqrt{5}\right)}^2={\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}^2$  

$a^2-2a\sqrt{5}+5=2+2\sqrt{6}+3$  

$a^2-2a\sqrt{5}+5=2\sqrt{6}+5\mid -5$  

$a^2-2a\sqrt{5}=2\sqrt{6}{\mid }^2$  

${\left(a^2-2a\sqrt{5}\right)}^2={\left(2\sqrt{6}\right)}^2$  

$a^4-4a^3\sqrt{5}+4a^2\cdot 5=4\cdot 6$  

$a^4-4a^3\sqrt{5}+20a^2=24$  

$-4a^3\sqrt{5}=24-a^4-20a^2\mid :\left(-4a^3\right)\ne 0$   

$\sqrt{5}=\frac{24-a^4-20a^2}{-4a^3}$  

Przy założeniu, że a jest liczbą wymierną, prawa strona równości jest także liczbą wymierną z czego wynika, że √5 jest liczbą wymierną. Otrzymaliśmy sprzeczność, więc √2+√3+√5 jest liczbą niewymierną.