$a)$  

$A=\left(-4;5\right)$  

$B=\left(0;2\right)$  

$C=\left(8;-4\right)$  

 

$\left|AB\right|=\sqrt{4^2+{\left(2-5\right)}^2}=\sqrt{25}=5$   

$\left|AC\right|=\sqrt{{\left(8+4\right)}^2+{\left(-4-5\right)}^2}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15$   

$\left|BC\right|=\sqrt{{\left(-8\right)}^2+{\left(-4-2\right)}^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$   

Wyznaczmy równanie prostej zawierającej odcinek AB.

$y=ax+b$  

$2=a\cdot 0+b\Rightarrow b=2$     

$5=-4a+b\Rightarrow a=-\frac{3}{4}$   

$y=-\frac{3}{4}x+2$   

Czy punkt C należy do prostej y?

$-4=-\frac{3}{4}\cdot 8+2$  

$-4=-6+2$  

$2=2$  

$0=0$  

Punkt C należy do prostej y, zatem punkt A, B i C są współliniowe. 

 

$b)$  

$A=\left(13;5\right)$  

$B=\left(-3;-3\right)$  

$C=\left(5;1\right)$  

 

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(-3-13\right)}^2+{\left(-3-5\right)}^2}=\sqrt{256+64}=\sqrt{320}$      

$\left|AC\right|=\sqrt{{\left(5-13\right)}^2+{\left(1-5\right)}^2}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}$   

$\left|BC\right|=\sqrt{{\left(5+3\right)}^2+{\left(1+3\right)}^2}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}$     

Wyznaczmy równanie prostej zawierającej odcinek AB.

$y=ax+b$  

$5=13a+b\iff -5=-13a-b$       

$-3=-3a+b$  

Dodajmy równania stronami:

$-8=-16a$  

$a=\frac{1}{2}$   

$b=-3+3a=-3+1,5=-\frac{3}{2}$       

$y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$     

Czy punkt C należy do prostej y?

$1=\frac{1}{2}\cdot 5-\frac{3}{2}$      

$1=1$  

Punkt C należy do prostej y, zatem punkt A, B i C są współliniowe. 

 

$c)$  

$A=\left(-4;-12\right)$  

$B=\left(2;-4\right)$  

$C=\left(10;2\right)$  

 

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(2+4\right)}^2+{\left(-4+12\right)}^2}=\sqrt{100}=10$  

$\left|AC\right|=\sqrt{{\left(10+4\right)}^2+{\left(2+12\right)}^2}=14\sqrt{2}$  

$\left|BC\right|=\sqrt{{\left(10-2\right)}^2+{\left(2+4\right)}^2}=\sqrt{64+36}=10$   

Wyznaczmy równanie prostej zawierającej odcinek AB.

$y=ax+b$  

$-12=-4a+b\iff 12=4a-b$  

$-4=2a+b$  

Dodajmy równania stronami:

$8=6a\Rightarrow a=\frac{4}{3}$  

$b=-4-2a\Rightarrow b=-4-\frac{8}{3}=-\frac{20}{3}$  

$y=\frac{4}{3}x-\frac{20}{3}$  

Czy punkt C należy do prostej y?

$2=\frac{4}{3}\cdot 10-\frac{20}{3}$  

$2=\frac{20}{3}$  

Sprzeczność. Punkt C nie należy do prostej y, zatem punkt A, B i C nie są współliniowe. 

 

$d)$  

$A=\left(-2\sqrt{2};8\right)$  

$B=\left(0;0\right)$  

$C=\left(\sqrt{2};-4\right)$  

 

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(2\sqrt{2}\right)}^2+8^2}=\sqrt{8+64}=\sqrt{72}=3\sqrt{8}=6\sqrt{2}$   

$\left|AC\right|=\sqrt{{\left(\sqrt{2}+2\sqrt{2}\right)}^2+{\left(-4-8\right)}^2}=\sqrt{18+144}=\sqrt{162}=9\sqrt{2}$   

$\left|BC\right|=\sqrt{\left({\sqrt{2}}^2+{\left(-4\right)}^2\right)=\sqrt{18}=3\sqrt{2}}$    

Wyznaczmy równanie prostej zawierającej odcinek AB.

$y=ax+b$  

$0=0\cdot a+b\Rightarrow b=0$  

$8=-2\sqrt{2}a\Rightarrow a=-\frac{8}{2\sqrt{2}}=\frac{-4\sqrt{2}}{2}=-2\sqrt{2}$   

$y=-2\sqrt{2}x$    

 

Czy punkt C należy do prostej y?

$-4=-2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}$  

$-4=-4$    

Punkt C należy do prostej y, zatem punkt A, B i C są współliniowe.