$a)$  

$A=\left(1;4\right)$  

$B=\left(5;5\right)$  

$l:y=\frac{2}{5}x-6$  

$l:\frac{2}{5}x-y-6=0$  

$d_A-\text{odległosˊcˊ punktu A od prostej l}$  

$d_A=\frac{\left|\frac{2}{5}\cdot 1+\left(-1\right)\cdot 4-6\right|}{\sqrt{{\left(\frac{2}{5}\right)}^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{9\frac{3}{5}}{\frac{1}{5}\left(\sqrt{29}\right)}=\frac{48}{\sqrt{29}}$   

$d_B=\frac{\left|\frac{2}{5}\cdot 5+\left(-1\right)\cdot 5-6\right|}{\sqrt{{\left(\frac{2}{5}\right)}^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{9}{\frac{1}{5}\left(\sqrt{29}\right)}=\frac{45}{\sqrt{29}}$  

$k-\text{prosta zawierająca odcinek AB}$  

$k:y=ax+b$  

$4=a+b\iff -4=-a-b$   

$5=5a+b$  

Dadajmy równania do siebie. 

$1=4a$  

$a=\frac{1}{4}$  

$5=5a+b\Rightarrow b=5-5a=\frac{20}{4}-\frac{5}{4}=\frac{15}{4}$  

$k:y=\frac{1}{4}x+\frac{15}{4}$  

Proste l i k nie są równoległe, ponieważ maja różne współczynniki kierunkowe.   

$\frac{1}{4}\ne \frac{2}{5}$  

 

$b)$  

$A=\left(-4;-2\right)$  

$B=\left(2;6\right)$  

$l:y=1\frac{1}{3}x-5$   

$l:\frac{4}{3}x-y-5=0$  

$d_A=\frac{\left|\frac{4}{3}\cdot \left(-4\right)-1\cdot \left(-2\right)-5\right|}{\sqrt{{\left(\frac{4}{3}\right)}^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{\frac{25}{3}}{\sqrt{\frac{25}{9}}}=\frac{\frac{25}{3}}{\frac{5}{3}}=\frac{25}{{\sout{3}}_1}\cdot \frac{{\sout{3}}^1}{5}=5$       

$d_B=\frac{\left|\frac{4}{3}\cdot 2-1\cdot 6-5\right|}{\sqrt{{\left(\frac{4}{3}\right)}^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{\frac{25}{3}}{\sqrt{\frac{25}{9}}}=5$       

Proste l i AB są równoległe, ponieważ punkty A i B są równoodległe od prostej l.

 

$c)$  

$A=\left(-5;-1\right)$  

$B=\left(7;-6\right)$  

$l:y=-2,4x$  

$l:2,4x+y=0$  

$d_A=\frac{\left|2,4\cdot \left(-5\right)-1\cdot 1\right|}{\sqrt{{\left(2,4\right)}^2+1^2}}=\frac{13}{\sqrt{\frac{169}{25}}}=\frac{13}{\frac{13}{5}}=5$  

$d_B=\frac{\left|2,4\cdot 7-6\cdot 1\right|}{\sqrt{{\left(2,4\right)}^2+1^2}}=\frac{13}{\sqrt{\frac{169}{25}}}=\frac{10,8}{\frac{13}{5}}=\frac{54}{13}$    

Proste l i AB nie są równoległe, ponieważ punkty A i B nie są równoodległe od prostej l.