$a)$

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów, przez które przechodzi wykres pierwszej prostej: 

$x=0\to y=3\cdot 0=0\to \text{punkt}\left(0;0\right)$

$x=1\to y=3\cdot 1=3\to \text{punkt}\left(1;3\right)$

 

 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów, przez które przechodzi wykres drugiej prostej: 

$x=0\to y=-\frac{1}{3}\cdot 0=0\to \text{punkt}\left(0;0\right)$

$x=3\to y=-\frac{1}{3}\cdot 3=-1\to \text{punkt}\left(3;-1\right)$

 

Rysujemy wykresy w jednym układzie współrzędnych i wybieramy punkty A, B jak na rysunku:

 

 

Odcinek AB ma długość 10. Długość odcinków OA i OB obliczymy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

 

Korzystając z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa sprawdzimy, czy trójkąt OAB jest prostokątny. 

${\left|OA\right|}^2+{\left|OB\right|}^2\stackrel{?}{=}{\left|AB\right|}^2$

${\sqrt{10}}^2+{\sqrt{90}}^2\stackrel{?}{=}{10}^2$

$10+90\stackrel{?}{=}100$

$100\stackrel{?}{=}100$

Powyższa równość jest prawdziwa, więc trójkąt OAB jest prostokątny, więc kąt AOB jest prosty, co oznacza, że dane proste są prostopadłe. 

 

 

 

$\underline{\underline{}}$

 

 

 

$b)$

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów, przez które przechodzi wykres pierwszej prostej: 

$x=0\to y=\frac{3}{4}\cdot 0=0\to \text{punkt}\left(0;0\right)$

$x=4\to y=\frac{3}{4}\cdot 4=3\to \text{punkt}\left(4;3\right)$

 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów, przez które przechodzi wykres drugiej prostej: 

$x=0\to y=-\frac{4}{3}\cdot 0=0\to \text{punkt}\left(0;0\right)$

$x=3\to y=-\frac{4}{3}\cdot 3=-4\to \text{punkt}\left(3;-4\right)$

 

Rysujemy wykresy w jednym układzie współrzędnych i wybieramy punkty A, B jak na rysunku:

 

 

Odcinek AB ma długość 25. Długość odcinków OA i OB obliczymy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

Korzystając z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa sprawdzimy, czy trójkąt OAB jest prostokątny. 

${\left|OA\right|}^2+{\left|OB\right|}^2\stackrel{?}{=}{\left|AB\right|}^2$

${15}^2+{20}^2\stackrel{?}{=}{25}^2$

$225+400\stackrel{?}{=}625$

$625\stackrel{?}{=}625$

Powyższa równość jest prawdziwa, więc trójkąt OAB jest prostokątny, więc kąt AOB jest prosty, co oznacza, że dane proste są prostopadłe. 

 

 

 

 

  $\underline{\underline{}}$  

 

 

 

$c)$

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów, przez które przechodzi wykres pierwszej prostej: 

$x=0\to y=\sqrt{2}\cdot 0=0\to \text{punkt}\left(0;0\right)$

$x=2\to y=\sqrt{2}\cdot 2=2\sqrt{2}\to \text{punkt}\left(2;2\sqrt{2}\right)$

 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów, przez które przechodzi wykres drugiej prostej: 

$x=0\to y=-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 0=0\to \text{punkt}\left(0;0\right)$

$x=4\to y=-\frac{\sqrt{2}}{{\sout{2}}^1}\cdot {\sout{4}}^2=-2\sqrt{2}\to \text{punkt}\left(4;-2\sqrt{2}\right)$

 

Rysujemy wykresy w jednym układzie współrzędnych i wybieramy punkty A, B jak na rysunku:

 

Odcinek AB ma długość 6√2. Długość odcinków OA i OB obliczymy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

 

Korzystając z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa sprawdzimy, czy trójkąt OAB jest prostokątny. 

${\left|OA\right|}^2+{\left|OB\right|}^2\stackrel{?}{=}{\left|AB\right|}^2$  

${\sqrt{48}}^2+{\sqrt{24}}^2\stackrel{?}{=}{\left(6\sqrt{2}\right)}^2$  

$48+24\stackrel{?}{=}36\cdot 2$  

$72\stackrel{?}{=}72$  

Powyższa równość jest prawdziwa, więc trójkąt OAB jest prostokątny, więc kąt AOB jest prosty, co oznacza, że dane proste są prostopadłe. 

 

UWAGA:

W ostatnim przykładzie kąt AOB nie wygląda jak kąt prosty dlatego, że jednostka na osi OX jest inna niż jednostka na osi OY.