a) Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym, ponieważ jego przeciwprostokątna jest średnicą okręgu. Stąd:

$\left|\angle ACB\right|={90}^{\circ }$  

Obliczamy miarę kąta ABC:

$\left|\angle ABC\right|={180}^{\circ }-{90}^{\circ }-{25}^{\circ }={65}^{\circ }$   

Miary kątów w trójkącie ABC wynoszą 25^o, 65^o i 90^o.

$\underline{\underline{}}$  

b) Rysunek pomocniczy:

 

Zaznaczamy odcinki CO i BO.

Wyznaczamy miary kątów w trójkącie AOC (jest to trójkąt równoramienny):

Wiemy, że kąt OAC ma miarę równą 15^o, stąd miara kąta ACO jest taka sama:

$\left|\angle OAC\right|=\left|\angle ACO\right|={15}^{\circ }$   

Obliczamy miarę kąta AOC:

$\left|\angle AOC\right|={180}^{\circ }-{15}^{\circ }-{15}^{\circ }={150}^{\circ }$  

 

Wyznaczamy miary kątów w trójkącie AOB (jest to trójkąt równoramienny):

Wiemy, że kąt BAO ma miarę równą 30^o, stąd miara kąta OBA jest taka sama:

$\left|\angle BAO\right|=\left|\angle OBA\right|={30}^{\circ }$   

Obliczamy miarę kąta AOB:

$\left|\angle AOB\right|={180}^{\circ }-{30}^{\circ }-{30}^{\circ }={120}^{\circ }$  

 

Wyznaczamy miary kątów w trójkącie COB (jest to trójkąt równoramienny):

Obliczamy miarę kąta BOC:

$\left|\angle BOC\right|={360}^{\circ }-\left|\angle AOC\right|-\left|\angle AOB\right|={360}^{\circ }-{150}^{\circ }-{120}^{\circ }={90}^{\circ }$  

Trójkąt BOC jest równoramienny - obliczamy miary kątów OBC oraz OCB:

$\left|\angle OBC\right|=\left|\angle OCB\right|=\left({180}^{\circ }-{90}^{\circ }\right):2={90}^{\circ }:2={45}^{\circ }$  

 

Obliczamy miarę kąta ACB:

$\left|\angle ACB\right|=\left|\angle ACO\right|+\left|\angle OCB\right|={15}^{\circ }+{45}^{\circ }={60}^{\circ }$  

Obliczamy miarę kąta CBA:

$\left|\angle CBA\right|=\left|\angle OBC\right|+\left|\angle OBA\right|={45}^{\circ }+{30}^{\circ }={75}^{\circ }$  

Miary kątów w trójkącie ABC wynoszą 45^o, 60^o i 75^o.

$\underline{\underline{}}$   

c) Rysunek pomocniczy:

 

Zaznaczamy odcinki CO i BO.

Wyznaczamy miary kątów w trójkącie AOB (jest to trójkąt równoramienny):

Wiemy, że kąt BAO ma miarę równą 35^o:

$\left|\angle BAO\right|={15}^{\circ }+{20}^{\circ }={35}^{\circ }$   

Miara kąta OBA jest taka sama, jak miara kąta BAO:

$\left|\angle OBA\right|=\left|\angle BAO\right|={35}^{\circ }$  

Obliczamy miarę kąta AOB:

$\left|\angle AOB\right|={180}^{\circ }-{35}^{\circ }-{35}^{\circ }={110}^{\circ }$  

 

Wyznaczamy miary kątów w trójkącie AOC (jest to trójkąt równoramienny):

 Miara kąta CAO jest równa:

$\left|\angle CAO\right|={15}^{\circ }$  

Kąt ACO ma taką sama miarę, jak kąt CAO, stąd:

$\left|\angle CAO\right|=\left|\angle ACO\right|={15}^{\circ }$   

Obliczamy miare kąta AOC:

$\left|\angle AOC\right|={180}^{\circ }-{15}^{\circ }-{15}^{\circ }={150}^{\circ }$  

 

Wyznaczamy miary kątów w trójkącie BOC (jest to trójkąt równoramienny):

Obliczamy miarę kąta BOC:

$\left|\angle BOC\right|=\left|\angle AOC\right|-\left|\angle AOB\right|={150}^{\circ }-{110}^{\circ }={40}^{\circ }$  

Wyznaczamy miary kątów OBC i OCB:

$\left|\angle OBC\right|=\left|\angle OCB\right|=\left({180}^{\circ }-{40}^{\circ }\right):2={140}^{\circ }:2={70}^{\circ }$  

 

Obliczamy miarę kąta ACB:

$\left|\angle ACB\right|=\left|\angle OCB\right|-\left|\angle ACO\right|={70}^{\circ }-{15}^{\circ }={55}^{\circ }$  

Obliczamy miarę kąta CBA:

$\left|\angle CBA\right|=\left|\angle OBC\right|+\left|\angle OBA\right|={70}^{\circ }+{35}^{\circ }={105}^{\circ }$  

Miary kątów w trójkącie ABC wynoszą 20^o, 55^o i 105^o.