a) Jeden z boków prostokąta oznaczmy jako x, a bok dwa razy większy: jako 2x. Boki te wraz z przeciwprostokątną tworzą trójkąt prostokątny, stąd można napisać równanie w oparciu o twierdzenie Pitagorasa:

$x^2+{\left(2x\right)}^2={\left(4\sqrt{5}\right)}^2$  

$x^2+4x^2=16\cdot 5$

$5x^2=80\mid :5$  

$x^2=16\mid \sqrt{}$  

$x=4\text{cm}$  

$2x=2\cdot 4\text{cm}=8\text{cm}$  

$P=4\cdot 8\text{cm}=32{\text{cm}}^2$  

$O=2\cdot 4\text{cm}+2\cdot 8\text{cm}=8\text{cm}+16\text{cm}=24\text{cm}$  

b)    Jeden z boków prostokąta oznaczmy jako x, a bok dwa razy większy: jako 3x. 

$x^2+{\left(3x\right)}^2={\left(5\sqrt{10}\right)}^2$  

$x^2+9x^2=5^2\cdot {\left(\sqrt{10}\right)}^2$  

$10x^2=25\cdot 10$  

$10x^2=250\mid :10$  

$x^2=25\mid \sqrt{}$  

$x=5\text{cm}$  

$3x=3\cdot 5\text{cm}=15\text{cm}$  

$P=5\cdot 15\text{cm}=75{\text{cm}}^2$  

$O=2\cdot 5\text{cm}+2\cdot 15\text{cm}=10\text{cm}+30\text{cm}=40\text{cm}$