Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

Z treści zadania wiemy, że:

$\sin \alpha \cdot \text{tg}\beta =\frac{\sqrt{3}}{2}$

 

Korzystając z powyższego rysunku. możemy z definicji funkcji trygonometrycznych zapisać:

$\sin \alpha =\frac{a}{12\sqrt{3}}$  

$\text{tg}\beta =\frac{b}{a}$

Mamy więc:

$\sin \alpha \cdot \text{tg}\beta =\frac{{\sout{a}}^1}{12\sqrt{3}}\cdot \frac{b}{{\sout{a}}^1}=\frac{b}{12\sqrt{3}}$ $\sin \alpha \cdot \text{tg}\beta =\frac{{\sout{a}}^1}{12\sqrt{3}}\cdot \frac{b}{{\sout{a}}^1}=\frac{b}{12\sqrt{3}}$  

Zauważmy, że:

$\frac{b}{12\sqrt{3}}=\cos \alpha \text{lub}\frac{b}{12\sqrt{3}}=\sin \beta$  

czyli:

$\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}\text{lub}\sin \beta =\frac{\sqrt{3}}{2}$  

$\cos \alpha \approx 0,8660$

$\alpha ={30}^{\text{o}}$

Miarę kąta ß możemy obliczyć korzystając z tw. o sumie miar kątów w trójkącie:

$\beta ={180}^{\text{o}}-{90}^{\text{o}}-{30}^{\text{o}}={60}^{\text{o}}$

lub np. korzystając z drugiej otrzymanej równości odczytując wynik z tablic:

Miary kątów w danym trójkącie wynoszą 90^o, 60^o oraz 30^o.

 

Obliczmy długości przyprostokątnych w tym trójkącie.

Z powyższych przekształceń wiemy, że:

$\sin \alpha \cdot \text{tg}\beta =\frac{b}{12\sqrt{3}}$  

oraz że:

$\sin \alpha \cdot \text{tg}\beta =\frac{\sqrt{3}}{2}$  

Zapiszmy równość:

$\frac{b}{12\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$  

$2b=36$  

$b=18$  

Korzystając z tw. Pitagorasa obliczamy długość przyprostokątnej a:

$a^2={\left(12\sqrt{3}\right)}^2-{18}^2$  

$a^2=432-324=108$  

$a=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$  

 

Odp: Miary kątów ostrych w tym trójkącie wynoszą 30^o i 60^o. Długości przyprostokątnych to 18 oraz 6√3.