$a)$  

$f\left(x\right)=\frac{1}{x}+\sqrt{x+2}$  

$D_f$  

$x\ne 0$  

$x+2\ge 0\Rightarrow x\ge -2$  

$D_f=\left[-2;0\right)\cup \left(0;+\infty \right)$   

 

$b)$  

$f\left(x\right)=\frac{1}{x-3}+\sqrt{x}$  

$D_f$  

$x-3\ne 0\Rightarrow x\ne 3$ $x-3\ne 0\Rightarrow x\ne 3$  

$x\ge 0$  

$D_f=\left[0;3\right)\cup \left(3;+\infty \right)$   

 

$c)$  

$f\left(x\right)=\frac{1}{x\sqrt{x+3}}$  

$D_f$  

$x+3>-0\Rightarrow x\ge -3$  

$x\sqrt{x+3}\ne 0$  

$x\ne 0\wedge \sqrt{x+3}\ne 0$  

$x\ne 0\wedge x\ne -3$  

$D_f=\left(-3;+\infty \right)\backslash \left\{0\right\}$    

$d)$

$f\left(x\right)=\frac{1}{\left(x-2\right)\sqrt{x-1}}$  

$D_f$  

$x-1\ge 0\Rightarrow x\ge 1$  

 

$\left(x-2\right)\sqrt{x-1}\ne 0$  

$x-2\ne 0\wedge \sqrt{x-1}\ne 0$  

$x\ne 2\wedge x\ne 1$  

  $D_f=\left(1;+\infty \right)\backslash \left\{2\right\}$   

$e)$  

$f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4-x}}$  

$D_f$  

$x\ge 0$  

 

$4-x\ge 0\Rightarrow x\le 4$  

 

$\sqrt{4-x}\ne 0$  

$4-x\ne 0$  

$x\ne 4$  

$D_f=\left[0;4\right)$    

$f)$  

$f\left(x\right)=\frac{\sqrt{6-x}}{\sqrt{x+2}}$  

$D_f$  

$6-x\ge 0\Rightarrow x\le 6$  

 

$x+2\ge 0\Rightarrow x\ge -2$  

 

$\sqrt{x+2}\ne 0$  

$x+2\ne 0$  

$x\ne -2$  

$D_f=\left(-2;6\right]$