Oznaczmy długości boków prostokąta jako x i z.

Wiemy, że obwód ogródka ma długość 240 metrów, stąd:

$2x+2z=240$  

Wyznaczamy z powyższego równania długość boku z:

$2x+2z=240\mid :2$  

$x+z=120\mid -z$  

$z=120-x$  

 

Chcemy, aby pole powierzchni ogródka było jak największe.

Zapiszmy funkcję określającą pole ogródka:

$f\left(x\right)=x\left(120-x\right)=120x-x^2$  

(zakładając, że długości boków są większe od 0 otrzymujemy dziedzinę funkcji (0;120)).

 

Wykres funkcji f(x) jest parabolą o ramionach skierowanych w dół (a=-1), więc największa wartość funkcji to f(x_w).

$x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{120}{-2}=60$  

$f\left(x_w\right)=f\left(60\right)=120\cdot 60-{60}^2=7200-3600=3600$  

 

Ogródek będzie miał największe pole równa 3600 m², jeżeli jeden z boków będzie miał długość równą 60m:

$x=60\text{m}$  

wówczas długość drugiego boku musi wynosić:

$z=120-60=60\text{m}$  

 

Odp: Ogródek powinien być kwadratem o boku długości 60 m.