a) Rysunek pomocniczy:

Przyjmujemy oznaczenia, takie jak na rysunku.

Zauwazmy, że odcinek a (zaznaczony kolorem zielonym) ma taką samą długość, jak krawędź podstawy.

Odcinek a, wysokość ostrosłupa oraz krawędź boczna tworzą trójkąt prostokątny.

Korzystając z tw. Pitagorasa obliczamy długość odcinka a:

$a^2=8^2-6^2$  

$a^2=64-36=28$  

$a=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$  

Odp: Długość krawędzi podstawy wynosi 2√7.

$\underline{\underline{}}$  

b) Rysunek pomocniczy:

Przyjmujemy oznaczenia, takie jak na rysunku.

Zauważmy, że odcinek a (zaznaczony kolorem zielonym) ma taką samą długość, jak krawędź podstawy, więc:

$a=2\sqrt{2}$

Krawędź boczna jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy, stąd:

$c=2\cdot 2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$  

 

Odcinek a, wysokość ostrosłupa oraz krawędź boczna c tworzą trójkąt prostokątny.

Korzystając z tw. Pitagorasa obliczamy wysokość ostrosłupa:

$H^2=c^2-a^2$  

$H^2={\left(4\sqrt{2}\right)}^2-{\left(2\sqrt{2}\right)}^2$  

$H^2=32-8=24$  

$H=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$  

 

Obliczamy objętość ostrosłupa:

$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H=\frac{1}{{\sout{3}}^1}\cdot {\sout{6}}^2\cdot \frac{{\left(2\sqrt{2}\right)}^2\sqrt{3}}{{\sout{4}}^2}\cdot {\sout{2}}^1\sqrt{6}=2\cdot \frac{{\sout{8}}^4\sqrt{3}}{{\sout{2}}^1}\cdot \sqrt{6}=8\sqrt{18}=24\sqrt{2}\left[j^3\right]$     

Odp: Objętość ostrosłupa wynosi 24√2 [j³].

$\underline{\underline{}}$

c) Rysunek pomocniczy:

 

Przyjmujemy oznaczenia, takie jak na rysunku.

W podstawie ostrosłupa znajduje się sześciokąt foremny. 

Prowadząc najdłuższe przekątne, sześciokąt można podzielić na sześć trójkątów równobocznych o długości boków równych długościom boków tego sześciokąta.

Zauważmy, że odcinek b (zaznaczony kolorem czerwonym) jest wysokością jednego z trójkątów równobocznych zawartych w podstawie.

Wyznaczamy wysokość trójkąta równobocznego o boku długości 4:

$b=\frac{{\sout{4}}^2\sqrt{3}}{{\sout{2}}^1}=2\sqrt{3}$  

 

Odcinek b, wysokość ostrosłupa oraz wysokość ściany bocznej c (zaznaczona kolorem niebieskim) tworzą trójkąt prostokątny.

Korzystając z tw. Pitagorasa obliczamy wysokość ściany bocznej:

$c^2=9^2+b^2$

$c^2=81+{\left(2\sqrt{3}\right)}^2$  

$c^2=81+12=93$  

$c=\sqrt{93}$  

Odp: Wysokość ściany bocznej zadanego ostrosłupa jest równa √93.