$\text{a)}\frac{1}{1-x^2}+\frac{1}{1+x}=2$  

$\text{Załoz˙enia:}$  

$\{\begin{array}{l}1-x^2\ne 0\\ 1+x\ne 0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x\ne 1\text{i}x\ne -1\\ x\ne -1\end{array}$  

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{-1,1\right\}$  

 

$\frac{1}{\left(1-x\right)\left(1+x\right)}+\frac{1}{1+x}=2\mid \cdot \left(1-x\right)\left(1+x\right)$  

$1+1-x=2\left(1-x\right)\left(1+x\right)$  

$2-x=2\left(1-x^2\right)$  

$2-x=2-2x^2\mid -2$  

$-x=-2x^2$

$2x^2-x=0$  

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 2\cdot 0=1$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{1}=1$  

$x_1=\frac{1-1}{4}=0\in D$   

$x_2=\frac{1+1}{4}=\frac{1}{2}\in D$  

Liczby 0 i ¹/₂ spełniają założenia są więc rozwiązaniami podanego równania.

$\underline{\underline{}}$  

$\text{b)}\frac{3-x}{4x^2+4x+1}-\frac{5x}{2x+1}=0$  

Zauważmy, że mianownik pierwszego wyrażenia możemy "zwinąć" korzystająć ze wzoru skróconego mnożenia:

$\frac{3-x}{{\left(2x+1\right)}^2}-\frac{5x}{2x+1}=0$  

$\text{Załoz˙enia:}$  

$2x+1\ne 0$  

$x\ne -\frac{1}{2}$  

 

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{-\frac{1}{2}\right\}$  

 

$\frac{3-x}{{\left(2x+1\right)}^2}-\frac{5x}{2x+1}=0\mid \cdot {\left(2x+1\right)}^2$  

$3-x-5x\left(2x+1\right)=0$  

$3-x-10x^2-5x=0$  

$-10x^2-6x+3=0$  

$\Delta ={\left(-6\right)}^2-4\cdot \left(-10\right)\cdot 3=36+120=156$   

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{156}=2\sqrt{39}$  

$x_1=\frac{6-2\sqrt{39}}{-20}=\frac{-3+\sqrt{39}}{10}\in D$   

$x_2=\frac{6+2\sqrt{39}}{-20}=\frac{-3-\sqrt{39}}{10}\in D$  

Liczby x₁ i x₂ spełniają założenia są więc rozwiązaniami podanego równania.

$\underline{\underline{}}$    

$\text{c)}\frac{2x}{x^2-1}=\frac{1-x}{x^2+2x+1}$  

Zauważmy, że w obu wyrażeniach możemy przekształcić mianowniki:

$\frac{2x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}-\frac{1-x}{{\left(x+1\right)}^2}=0$    

$\text{Załoz˙enia:}$  

$\{\begin{array}{l}x-1\ne 0\\ x+1\ne 0\end{array}$    

$\{\begin{array}{l}x\ne 1\\ x\ne -1\end{array}$  

 

 

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{-1,1\right\}$  

 

$\frac{2x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}-\frac{1-x}{{\left(x+1\right)}^2}=0\mid \cdot {\left(x+1\right)}^2\left(x-1\right)$  

$2x\left(x+1\right)-\left(1-x\right)\left(x-1\right)=0$  

$2x^2+2x-\left(x-1-x^2+x\right)=0$  

$2x^2+2x-\left(2x-1-x^2\right)=0$  

$2x^2+2x-2x+1+x^2=0$  

$3x^2+1=0$  

$\Delta =0^2-4\cdot 3\cdot 1<0$  

Równanie jest sprzeczne, nie ma więc rozwiązań.

$\underline{\underline{}}$    

$\text{d)}\frac{2x+1}{x^2+6x+9}+\frac{x-1}{9-x^2}=0$  

Zauważmy, że w obu wyrażeniach możemy przekształcić mianowniki:

$\frac{2x+1}{{\left(x+3\right)}^2}+\frac{x-1}{\left(3-x\right)\left(3+x\right)}=0$     

$\text{Załoz˙enia:}$  

$\{\begin{array}{l}x+3\ne 0\\ 3-x\ne 0\end{array}$    

$\{\begin{array}{l}x\ne -3\\ x\ne 3\end{array}$    

 

 

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{-3,3\right\}$  

 

$\frac{2x+1}{{\left(x+3\right)}^2}+\frac{x-1}{\left(3-x\right)\left(3+x\right)}=0\mid \cdot {\left(3+x\right)}^2\left(3-x\right)$  

$\left(2x+1\right)\left(3-x\right)+\left(x-1\right)\left(3+x\right)=0$  

$6x-2x^2+3-x+3x+x^2-3-x=0$  

$-x^2+7x=0$   

$\Delta =7^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot 0=49$   

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{49}=7$   

$x_1=\frac{-7-7}{-2}=7\in D$  

$x_2=\frac{-7+7}{-2}=0\in D$     

Liczby 0 i 7 spełniają założenia są więc rozwiązaniami podanego równania.

$\underline{\underline{}}$    

$\text{e)}\frac{2}{x+4}+\frac{3}{x-4}=\frac{14}{x^2-16}$  

Zauważmy, że:

$\frac{2}{x+4}+\frac{3}{x-4}=\frac{14}{\left(x-4\right)\left(x+4\right)}$  

$\text{Załoz˙enia:}$  

$\{\begin{array}{l}x+4\ne 0\\ x-4\ne 0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x\ne -4\\ x\ne 4\end{array}$  

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{-4,4\right\}$  

 

$\frac{2}{x+4}+\frac{3}{x-4}=\frac{14}{\left(x-4\right)\left(x+4\right)}\mid \cdot \left(x-4\right)\left(x+4\right)$   

$2\left(x-4\right)+3\left(x+4\right)=14$  

$2x-8+3x+12=14$  

$5x-10=0$  

$x=2\in D$  

Liczba 2 spełnia założenia więc jest rozwiązaniem podanego równania.

$\underline{\underline{}}$    

$\text{f)}\frac{3}{x+2}+\frac{12}{x^2-4}+\frac{1}{2x}=0$  

Rozpisujemy mianownik drugiego wyrażenia:

  $\frac{3}{x+2}+\frac{12}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}+\frac{1}{2x}=0$  

$\text{Załoz˙enia:}$  

$\{\begin{array}{l}x+2\ne 0\\ x-2\ne 0\\ 2x\ne 0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x\ne -2\\ x\ne 2\\ x\ne 0\end{array}$  

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{-2,0,2\right\}$  

 

$\frac{3}{x+2}+\frac{12}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}+\frac{1}{2x}=0\mid \cdot 2x\left(x+2\right)\left(x-2\right)$   

$3\cdot 2x\left(x-2\right)+12\cdot 2x+\left(x+2\right)\left(x-2\right)=0$  

  $6x^2-12x+24x+x^2-2x+2x-4=0$  

$7x^2+12x-4=0$  

$\Delta ={12}^2-4\cdot 7\cdot \left(-4\right)=144+112=256$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{256}=16$  

$x_1=\frac{-12-16}{14}=\frac{-28}{14}=-2\notin D$  

$x_2=\frac{-12+16}{14}=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}\in D$  

Liczba ²/₇ spełnia założenia więc jest rozwiązaniem podanego równania.

$\underline{\underline{}}$    

$\text{g)}\frac{x+5}{x-4}+\frac{3}{x}=\frac{36}{x^2-4x}$  

Mianownik wyrażenia po prawej stronie równości możemy zapisać następująco:

$\frac{x+5}{x-4}+\frac{3}{x}=\frac{36}{x\left(x-4\right)}$  

$\text{Załoz˙enia:}$  

$\{\begin{array}{l}x-4\ne 0\\ x\ne 0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x\ne 4\\ x\ne 0\end{array}$  

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{0,4\right\}$  

 

$\frac{x+5}{x-4}+\frac{3}{x}=\frac{36}{x\left(x-4\right)}\mid \cdot x\left(x-4\right)$   

$x\left(x+5\right)+3\left(x-4\right)=36$  

$x^2+5x+3x-12=36\mid -36$  

$x^2+8x-48=0$  

$\Delta =8^2-4\cdot 1\cdot \left(-48\right)=64+192=256$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{256}=16$  

$x_1=\frac{-8-16}{2}=-12\in D$  

$x_2=\frac{-8+16}{2}=4\notin D$   

Liczba -12 spełnia założenia więc jest rozwiązaniem podanego równania.

$\underline{\underline{}}$    

$\text{h)}\frac{x}{x+2}-\frac{1}{2-x}=\frac{4}{x^2-4}$  

Mianownik wyrażenia po prawej stronie równości możemy zapisać następująco:

$\frac{x}{x+2}-\frac{1}{2-x}=\frac{4}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$  

Z mianownika drugiego wyrażenia wyłączamy -1 przed nawias:

  $\frac{x}{x+2}+\frac{1}{x-2}=\frac{4}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$  

$\text{Załoz˙enia:}$  

$\{\begin{array}{l}x+2\ne 0\\ x-2\ne 0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x\ne -2\\ x\ne 2\end{array}$   

 

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{-2,2\right\}$  

 

   $\frac{x}{x+2}+\frac{1}{x-2}=\frac{4}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\mid \cdot \left(x-2\right)\left(x+2\right)$  

$x\left(x-2\right)+x+2=4$  

$x^2-2x+x+2=4\mid -4$  

$x^2-x-2=0$  

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-2\right)=9$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{9}=3$  

$x_1=\frac{1-3}{2}=-1\in D$  

$x_2=\frac{1+3}{2}=2\notin D$  

Liczba -1 spełnia założenia więc jest rozwiązaniem podanego równania.