$r=\frac{2P}{a+b+c}=\frac{2\cdot \frac{1}{2}\cdot a\cdot b}{a+b+c}=\frac{ab}{a+b+c}$  

$R=\frac{1}{2}c$  

 

Chcemy pokazać, że  $a+b=2\cdot \frac{ab}{a+b+c}+2\cdot \frac{1}{2}c$  

$a+b=\frac{2ab}{a+b+c}+c\mid \cdot \left(a+b+c\right)$  

$\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)=2ab+c\left(a+b+c\right)$  

$a^2+ab+ac+ab+b^2+bc=2ab+ac+bc+c^2\mid -2ab-ac-bc$  

$a^2+b^2=c^2$  

Jest to twierdzenie Pitagorasa, więc powyższe równanie jest spełnione w każdym trójkącie prostokątnym.