Zauważmy, że trójkąty PAC i PDB są podobne na mocy cehcy kąt-kąt-kąt.

$\left|\sphericalangle APC\right|=\left|\sphericalangle DPB\right|$  ponieważ są to kąty wierzchołkowe.

$\left|\sphericalangle PAC\right|=\left|\sphericalangle CDB\right|$  ponieważ są to kąty wpisane oparte na tym samym łuku.

$\left|\sphericalangle PCA\right|=\left|\sphericalangle PBD\right|$  ponieważ są to katy wpisane oparte na tym samym łuku.

 

$\frac{\left|AP\right|}{\left|PD\right|}=\frac{\left|CP\right|}{\left|PB\right|}$  

Mnożąc na krzyż otrzymujemy:

$\left|AP\right|\cdot \left|PB\right|=\left|PD\right|\cdot \left|CP\right|$  

Twierdzenie zostało udowodnione.