$a)f\left(x\right)=-x^3+3x^2-1$  

Funkcja rośnie:

$x\in \left[0,2\right]$  

Funkcja maleje w przedziałach:

$\left(-\infty ,0\right]\text{i}\left[2,\infty \right)$  

 

Zbadajmy znak pochodnej:

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=-3x^2+6x$  

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)>0$  

$-3x^2+6x>0$  

$-3x\left(x-2\right)>0$  

$x\left(x-2\right)<0$  

Funkcja rośnie w przedziale:

$\left[0,2\right]$  

Maleje w przedziałach:

$\left(-\infty ,0\right]\text{i}\left[2,\infty \right)$  

Zgadza się.

 

 

$b)f\left(x\right)=-\frac{8x}{x^2+1}$  

Funkcja rośnie:

$\left(-\infty ,-1\right]\text{i}\left[1,\infty \right)$  

Funkcja maleje:

$\left[-1,1\right]$  

 

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=-\frac{{\left(8x\right)}^{{}^{\prime }}\left(x^2+1\right)-\left(8x\right){\left(x^2+1\right)}^{{}^{\prime }}}{{\left(x^2+1\right)}^2}=-\frac{8\left(x^2+1\right)-8x\cdot 2x}{{\left(x^2+1\right)}^2}=-\frac{8x^2+8-16x^2}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{8x^2-8}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{8\left(x^2-1\right)}{{\left(x^2+1\right)}^2}$  

Zbadajmy znak pochodnej:

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)\ge 0$  

$\frac{8\left(x^2-1\right)}{{\left(x^2+1\right)}^2}\ge 0$  

$8\left(x-1\right)\left(x+1\right)\ge 0$  

Funkcja rośnie w przedziałach:

$\left(-\infty ,-1\right]\text{i}\left[1,\infty \right)$  

Maleje na przedziale:

$\left[-1,1\right]$