$a)$  

$a_n=\{\begin{array}{l}\frac{1}{n}\text{dla}n\le 500\\ \frac{6n^2+1}{2n+1}\text{dla}n>500\end{array}$    

$\text{Nas interesuje zachowanie ciągu dla n bardzo duz˙ego. ( w nieskonˊczonosˊci).}$  

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{6n^2+1}{2n+1}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{6n+\frac{1}{n}}{2+\frac{1}{n}}=\frac{\infty }{2}=\infty$   

 

$b)$  

$a_n=\{\begin{array}{l}\frac{2n}{1+n^2}\text{dla}n\le 1000\\ \frac{1-n^2}{1+n}\text{dla}n>1000\end{array}$      

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1-n^2}{1+n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\frac{1}{n}-n}{\frac{1}{n}+1}=\frac{-\infty }{1}=-\infty$