$a)$  

$S_n=n^2-4$  

$a_1=S_1=1-4=-3$  

$\text{Dla}n>1:$   

$a_n=S_n-S_{n-1}=n^2-4-n^2+2n-1+4=2n-1$  

 

$r=a_{n+1}-a_n=2n+2-1-2n+1=2$     

$a_2-a_1=3+3=6$   

$\text{Roˊz˙nica r nie jest stała dla kaz˙dego n naturalnego. Ciąg nie jest arytmetyczny.}$  

 

$b)$  

$S_n=n^2+2n$  

$a_1=S_1=1+2=3$  

$\text{Dla}n>1:$    

$a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+2n-\left({\left(n-1\right)}^2+2\left(n-1\right)\right)=n^2+2n-\left(n^2-2n+1+2n-2\right)=$  

$=n^2+2n-n^2+2n-1-2n+2=2n+1$       

 

$r=a_{n+1}-a_n=2\left(n+1\right)+1-\left(2n+1\right)=2n+2+1-2n-1=2$           

$a_2-a_1=4+1-3=2$    

 

$\text{Roˊz˙nica r jest stała dla kaz˙dego n naturalnego. Ciąg jest arytmetyczny.}$  

 

$c)$  

 

$S_n=6n-2n^2$   

$a_1=S_1=6-2=4$   

$\text{Dla}n>1:$    

$a_n=S_n-S_{n-1}=6n-2n^2-\left(6\left(n-1\right)-2{\left(n-1\right)}^2\right)=$  

$=6n-2n^2-\left(6n-6-2\left(n^2-2n+1\right)\right)=6n-2n^2-\left(6n-6-2n^2+4n-2\right)=$  

$=6n-2n^2-\left(-2n^2+10n-8\right)=6n-2n^2+2n^2-10n+8=-4n+8$  

 

$r=a_{n+1}-a_n=-4\left(n+1\right)+8-\left(-4n+8\right)=-4n-4+8+4n-8=-4$           

$a_2-a_1=0-4=-4$     

 

$\text{Roˊz˙nica r jest stała dla kaz˙dego n naturalnego. Ciąg jest arytmetyczny.}$   

 

$d)$  

$S_n=2n$  

$a_1=S_1=2$  

$\text{Dla}n>1:$    

$a_n=S_n-S_{n-1}=2n-2n+2=2$      

 

$r=a_{n+1}-a_n=2-2=0$         

$a_2-a_1=2-2=0$     

 

$\text{Roˊz˙nica r jest stała dla kaz˙dego n naturalnego. Ciąg jest arytmetyczny.}$