$\text{a)}\frac{2}{\left|x-1\right|}>1$  

Zakładamy, że:

$x-1\ne 0$  

$x\ne 1$  

 

$\frac{2}{\left|x-1\right|}>1\left|\cdot \right|x-1\mid$  

$2>\left|x-1\right|$  

$\left|x-1\right|<2$     

Korzystamy z tw.:

Jeżeli a>0, to |x|<a wtedy i tylko wtedy, gdy  x < a   i   x > -a.

$x-1<2\text{i}x-1>-2$   

  $x<3x>-1$  

x muszą byc równocześnie mniejsze od 3 oraz większe od -1 (pamiętamy aby uwzględnić dziedzinę), stąd:
$x\in \left(-1,1\right)\cup \left(1,3\right)$     

$\underline{\underline{}}$  

$\text{b)}\frac{7}{\left|x+2\right|}\le 1$  

Zakładamy, że:

$x+2\ne 0$  

$x\ne -2$   

 

$\frac{7}{\left|x+2\right|}\le 1\left|\cdot \right|x+2\mid$  

$7\le \left|x+2\right|$  

$\left|x+2\right|\ge 7$      

Korzystamy z tw.:

Jeżeli a>0, to |x|≥a wtedy i tylko wtedy, gdy  x ≥ a  lub   x≤-a.

$x+2\ge 7\text{lub}x+2\le -7$    

   $x\ge 5x\le -9$    

x muszą być większe lub równe 5 lub x muszą być mniejsze lub równe -9 (wyznaczamy sumę zbiorów), stąd:

$x\in (-\infty ,-9⟩\cup <<5,+\infty )$  

$\underline{\underline{}}$   

$\text{c)}\frac{6}{\left|3x+1\right|}-2\ge 1$  

Zakładamy, że:

$3x+1\ne 0$  

$x\ne -\frac{1}{3}$    

 

$\frac{6}{\left|3x+1\right|}-2\ge 1\mid +2$   

$\frac{6}{\left|3x+1\right|}\ge 3\left|\cdot \right|3x+1\mid$    

$6\ge 3\left|3x+1\right|\mid :3$  

$2\ge \left|3x+1\right|$  

$\left|3x+1\right|\le 2$         

Korzystamy z tw.:

Jeżeli a>0, to |x|≤a wtedy i tylko wtedy, gdy  x ≤ a   i   x ≥ -a.

$3x+1\le 2\text{i}3x+1\ge -2$     

   $3x\le 13x\ge -3$   

$x\le \frac{1}{3}x\ge -1$    

x muszą być równocześnie większe lub równe -1 oraz mniejsze lub równe ¹/₃ (pamiętamy, aby uwzględnić dziedzinę, stąd:
$x\in <<-1,-\frac{1}{3})\cup (-\frac{1}{3},\frac{1}{3}⟩$      

$\underline{\underline{}}$   

$\text{d)}\left|1+\frac{4}{x}\right|\le 3$  

Zakładamy, że:

$x\ne 0$    

 

Korzystamy z tw.:

Jeżeli a>0, to |x|≤a wtedy i tylko wtedy, gdy  x ≤ a   i   x ≥ -a.

$1+\frac{4}{x}\le 3\text{i}1+\frac{4}{x}\ge -3$        

$\frac{4}{x}\le 2\left|-2\frac{4}{x}\ge -4\right|+4$        

$\frac{4}{x}-2\le 0\frac{4}{x}+4\ge 0$       

$\frac{4}{x}-\frac{2x}{x}\le 0\frac{4}{x}+\frac{4x}{x}\ge 0$     

$\frac{4-2x}{x}\le 0\frac{4+4x}{x}\ge 0$     

Znak ilorazu jest równy znakowi iloczynu. 

$\left(4-2x\right)x\le 0\left(4+4x\right)x\ge 0$   

$4-2x=0\vee x=04+4x=0\vee x=0$   

$x=2\vee x=0x=-1\vee x=0$  

Zatem: 

$x\in (-\infty ;0⟩\cup ⟨2;+\infty )x\in (-\infty ;-1>\cup ⟨0,+\infty )$       

Ostateczne rozwiązanie jest częścią wspólną obu powyższych zbiorów rozwiązań (bo mamy "i", czyli część wspólną), czyli:

$x\in (-\infty ;-1⟩\cup ⟨2;+\infty )$