$a)$  

$A=\left(4;b\right)$  

$B=\left(b-1;3\right)$  

$f\left(x\right)=\frac{a}{x}$  

$b=\frac{a}{4}$  

$3=\frac{a}{b-1}$   

 

$3b-3=a$  

$\frac{3}{4}a-3=a$  

$\frac{1}{4}a=-3$  

$\underline{a=-12}$   

$\underline{b=-\frac{12}{4}=-3}$   

 

$f\left(x\right)=-\frac{12}{x}$   

$x\in \left[-4;-1\right]$  

Odczytajmy z wykresu ekstrema funkcji w powyższym przedziale.

$f_{\max }=f\left(-1\right)=12$  

$f_{\min }=f\left(-4\right)=3$  

 

$f\left(x\right)<-3$        

$\underline{x\in \left(0;4\right)}$    

 

$b)$  

$A=\left(b^2;-2\right)$  

$B=\left(4;b\right)$  

$f\left(x\right)=\frac{a}{x}$  

 

$-2=\frac{a}{b^2}\Rightarrow a=-2b^2$  

$b=\frac{a}{4}=\frac{-2b^2}{4}$  

$2b=-b^2$  

$b\ne 0,\text{poniewaz˙ punkt A nalez˙y do wykresu funkcji f.}$  

$2=-b$  

$\underline{b=-2}$         

$\underline{a=-8}$    

 

$f\left(x\right)=-\frac{8}{x}$   

$x\in \left[-4;-1\right]$   

Odczytajmy z wykresu ekstrema funkcji w powyższym przedziale.

$f_{\max }=f\left(-1\right)=8$   

$f_{\min }=f\left(-4\right)=2$   

 

$f\left(x\right)<2$         

$\underline{x\in \left(0;4\right)}$   

 

$c)$  

$A=\left(b;4b\right)$  

$B=\left(-2b;b-6\right)$  

$f\left(x\right)=\frac{a}{x}$  

 

$4b=\frac{a}{b}\Rightarrow a=4b^2$  

$b-6=\frac{a}{-2b}$  

$-2b^2+12b=a=4b^2$  

$12b=6b^2$  

$b\ne 0$  

$2=b$  

$a=4b^2=16$  

 

$f\left(x\right)=\frac{16}{x}$  

$x\in \left[-4;-1\right]$    

Wyznaczmy z wykresu ekstrema funkcji w powyższym przedziale.

$f_{\max }=f\left(-4\right)=-4$     

$f_{\min }=f\left(-1\right)=-16$     

 

$f\left(x\right)<b=2$  

$x\in \left(-\infty ;0\right)\cup \left(8;+\infty \right)$