$x^4+a{x}^2+b=0$  

Podstawiając  $x^2=t,t>0$   otrzymujemy:

$t^2+at+b=0$  

Aby powyższe równanie miało cztery pierwiastki muszą być spełnione warunki:   

$\{\begin{array}{l}\Delta >0\\ t_1+t_2>0\\ t_1\cdot t_2>0\end{array}$  

Drugi i trzeci warunek bierze się z fakty, że  $t>0,$   zatem również  $t_1>0,t_2>0.$  

Zatem otrzymujemy:

$\{\begin{array}{l}{a}^2-4\cdot 1\cdot b>0\\ -\frac{a}{1}>0\\ \frac{b}{1}>0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}^2-4b>0\\ a<0\\ b>0\end{array}$  

 

Zauważmy że funkcja  $f\left(x\right)=x^4+a{x}^2+b$   jest parzysta, zatem pierwiastki (miejsca zerowe) tej funkcji są symetryczne względem osi OY.

Oznaczmy pierwiastki równania:

$-c,-d,d,c$  

Zatem otrzymujemy (wiemy, że tworzą ciąg arytmetyczny - różnica wyrazu drugiego i pierwszego jest równa różnicy wyrazu trzeciego i drugiego):

$-d-\left(-c\right)=d-\left(-d\right)$  

$-d+c=d+d$  

$c=3d$  

 

Zatem  możemy zapisać równość:

$\left(x+3d\right)\left(x+d\right)\left(x-d\right)\left(x-3d\right)=x^4+a{x}^2+b$  

$\left(x^2-{\left(3d\right)}^2\right)\left(x^2-d^2\right)=x^4+a{x}^2+b$  

$\left(x^2-9d^2\right)\left(x^2-d^2\right)=x^4+a{x}^2+b$  

$x^4-d^2{x}^2-9d^2{x}^2+9d^4=x^4+a{x}^2+b$  

$x^4-10d^2{x}^2+9d^4=x^4+a{x}^2+b$  

$\{\begin{array}{l}-10d^2=a\\ 9d^4=b\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{d}^2=\frac{a}{-10}\\ 9\cdot {\left(\frac{a}{-10}\right)}^2=b\end{array}$  

Rozwiązując drugie równanie otrzymujemy:

$9\cdot \frac{a^2}{100}=b$  

$0,09a^2=b$