a) bn+1=2(n+1)+15−3(n+1)=2n+2+15−3n−3=2n+32−3n
Sprawdźmy różnicę:
bn+1−bn=2n+32−3n−2n+15−3n=(2n+3)(2n+1)(2−3n)(2n+1)−(2n+1)(2n+3)(5−3n)(2n+3)=(2n+3)(2n+1)4n+2−6n2−3n−(2n+3)(2n+1)10n+15−6n2−9n
=(2n+3)(2n+1)−6n2+n+2+6n2−n−15=(2n+3)(2n+1)−13<0
Skoro
∀n∈N: bn+1−bn<0
to znaczy, że ciąg jest malejący.
b) bn+1=3n+1−2(n+1)−1=3n⋅3−2n−2−1=3n⋅3−2n−3
Sprawdźmy różnicę:
bn+1−bn=3n⋅3−2n −3−(3n−2n−1)=3n⋅3−2n−3−3n+2n+1=3n(3−1)−2=3n⋅2−2=2(3n−1)>0
Skoro
∀n∈N: bn+1−bn>0
to znaczy, że ciąg jest rosnący.
c) bn+1=(n+1)3−4(n+1)2−9(n+1)+36=n3+3n2+3n+1−4(n2+2n+1)−9n−9+36=
n3+3n2+3n+1−4n2−8n−4−9n+27=n3−n2−5n+24
Sprawdźmy różnicę:
bn+1−bn=n3−n2−5n+24−(n3−4n2−9n+36)=n3−n2−5n+24−n3+4n2+9n−36=
3n2+4n−12
Wyznaczmy miejsca zerowe
Δ=42−4⋅3⋅(−12)=16+144=160
Δ=160=16⋅10=410
n1=6−4+410=3−2+210≈1,44
n2=6−4−410=3−2−210<0
Z tego wynika, że:
a1<0
oraz, że:
an>0 dla n≥2
Ciąg nie jest monotoniczny gdyż istnieją wyrazy o wartości ujemnej jak również i dodatniej.
