$a)S_{n+2}-S_n=99-54=45$  

$a_{n+2}+a_{n+1}=45$  

$a_{n+1}+r+a_{n+1}=45$  

$2a_{n+1}+3=45$  

$2a_{n+1}=42$  

$a_{n+1}=21$  

$a_n=18$  

 

Wyznaczmy wzór na pierwszy wyraz ciągu:

$a_n=a_1+\left(n-1\right)\cdot 3$   

$a_n-3n+3=a_1$  

$18-3n+3=a_1$  

$a_1=21-3n$  

 

Ze wzoru na sumę:

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$  

$\frac{21-3n+18}{2}\cdot n=54$  

$\left(39-3n\right)\cdot n=108$  

$-3n^2+39n=108\mid :\left(-3\right)$  

$n^2-13n=-36$  

$n^2-13n+36=0$   

$\Delta ={\left(-13\right)}^2-4\cdot 1\cdot 36=169-144=25$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{25}=5$  

$n_1=\frac{-\left(-13\right)-5}{2}=4$  

$n_2=\frac{-\left(-13\right)+5}{2}=9$  

 

$b)S_n+300=S_{2n}-S_n$  

$300=S_{2n}-2\cdot S_n$  

$300=\frac{a_1+a_{2n}}{2}\cdot 2n-2\cdot \frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$  

$300=n\left(a_1+a_1+\left(2n-1\right)\cdot r\right)-n\left(a_1+a_1+\left(n-1\right)\cdot r\right)$  

$300=n\left(2a_1+6n-3\right)-n\left(2a_1+3n-3\right)$  

$300=2n{a}_1+6n^2-3n-2n{a}_1-3n^2+3n$  

$300=3n^2$  

$n^2=100$  

$n=10$