Zbadaj monotoniczność ciągu...- Zadanie 15: MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

$a) a_{n} = n + \frac{1 + ( - 1 ) ^{n}}{2}$

$a_{n + 1} = n + 1 + \frac{1 + ( - 1 ) ^{n + 1}}{2}$

Zbadajmy różnicę:

$a_{n + 1} - a_{n} = n + 1 + \frac{1 + ( - 1 ) ^{n + 1}}{2} - n - \frac{1 + ( - 1 ) ^{n}}{2} = 1 + \frac{1 + ( - 1 ) ^{n + 1} - 1 - ( - 1 ) ^{n}}{2} = 1 + \frac{( - 1 ) ^{n + 1} + ( - 1 ) ^{n + 1}}{2} =$

$= 1 + (- 1)^{n + 1} \geq 0$

A więc ciąg jest niemalejący.

$b) a_{n} = n + sin (\frac{n π}{2})$

$a_{n + 1} = n + 1 + sin (\frac{( n + 1 ) π}{2}) = n + 1 + sin (\frac{n π}{2} + \frac{π}{2})$ $a_{n + 1} = n + 1 + sin (\frac{( n + 1 ) π}{2}) = n + 1 + sin (\frac{n π}{2} + \frac{π}{2})$

Zbadajmy różnicę:

$a_{n + 1} - a_{n} = n + 1 + sin (\frac{n π}{2} + \frac{π}{2}) - n - sin (\frac{n π}{2}) = 1 + sin (\frac{n π}{2} + \frac{π}{2}) - sin (\frac{n π}{2})$

ze wzoru na różnice sinusów:

$= 1 + 2 sin (\frac{\frac{n π}{2} + \frac{π}{2} - \frac{n π}{2}}{2}) cos (\frac{\frac{n π}{2} + \frac{π}{2} + \frac{n π}{2}}{2}) = 1 + 2 sin (\frac{π}{4}) cos (\frac{n π}{2} + \frac{π}{4})$

$= 1 + 2 \frac{2}{2} cos (\frac{n π}{2} + \frac{π}{4}) = 1 + 2 cos (\frac{n π}{2} + \frac{π}{4})$

Zauważmy, że:

$Dla n = 1 cos (\frac{π}{2} + \frac{π}{4}) = cos (\frac{3 π}{4}) = cos (π - \frac{π}{4}) = - cos (\frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}$

$Dla n = 2 cos (π + \frac{π}{4}) = - cos (\frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}$

$Dla n = 3 cos (\frac{3 π}{2} + \frac{π}{4}) = cos (\frac{7 π}{4}) = cos (2 π - \frac{π}{4}) = cos (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}$

$Dla n = 4 cos (2 π + \frac{π}{4}) = cos (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}$

A więc

$1 + 2 \cdot \frac{- 2}{2} = 1 - \frac{2}{2} = 1 - 1 = 0$

$1 + 2 \cdot \frac{2}{2} = 1 + \frac{2}{2} = 1 + 1 = 2$

A więc:

$0 \leq a_{n + 1} - a_{n} \leq 2$

Ciąg niemalejący.

$c) a_{n} = \frac{2 + ( - 1 ) ^{n}}{2 - ( - 1 ) ^{n}} 3^{2 n}$

$a_{n + 1} = \frac{2 + ( - 1 ) ^{n + 1}}{2 - ( - 1 ) ^{n + 1}} 3^{2 (n + 1)} = \frac{2 + ( - 1 ) \cdot ( - 1 ) ^{n}}{2 - ( - 1 ) \cdot ( - 1 ) ^{n}} 3^{2 n + 2} = \frac{2 - ( - 1 ) ^{n}}{2 + ( - 1 ) ^{n}} \cdot 3^{2 n} \cdot 9$

Zbadajmy iloraz:

$\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{\frac{2 - ( - 1 ) ^{n}}{2 + ( - 1 ) ^{n}} 3 ^{2 n} \cdot 9}{\frac{2 + ( - 1 ) ^{n}}{2 - ( - 1 ) ^{n}} 3 ^{2 n}}$

$= 9 \cdot \frac{2 - ( - 1 ) ^{n}}{2 + ( - 1 ) ^{n}} \cdot \frac{2 - ( - 1 ) ^{n}}{2 + ( - 1 ) ^{n}}$

Zauważmy, że:

$Dla n = 2 k - 1$

$9 \cdot \frac{2 - ( - 1 ) ^{2 k - 1}}{2 + ( - 1 ) ^{2 k - 1}} \cdot \frac{2 - ( - 1 ) ^{2 k - 1}}{2 + ( - 1 ) ^{2 k - 1}}$

$= 9 \cdot \frac{2 + 1}{2 - 1} \cdot \frac{2 + 1}{2 - 1} = 9 \cdot \frac{3}{1} \cdot \frac{3}{1} = 81$

$Dla n = 2 k$

$9 \cdot \frac{2 - ( - 1 ) ^{2 k}}{2 + ( - 1 ) ^{2 k}} \cdot \frac{2 - ( - 1 ) ^{2 k}}{2 + ( - 1 ) ^{2 k}}$

$= 9 \cdot \frac{2 - 1}{3} \cdot \frac{2 - 1}{2 + 1} = 9 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = 1$

A więc:

$1 \leq \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} \leq 81$

Ciąg niemalejący.

Ernest Jamka

Nauczyciel matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.