$a)a_n=4^n$  

Zbadajmy iloraz:

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{4^{n+1}}{4^n}=\frac{4^n\cdot 4}{4^n}=4>1$   

Ciąg rosnący.

 

$b)a_n={\left(\frac{2}{3}\right)}^n$  

Zbadajmy iloraz:

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n+1}}{{\left(\frac{2}{3}\right)}^n}={\left(\frac{2}{3}\right)}^{n+1-n}=\frac{2}{3}<1$  

Ciąg malejący.

 

$c)a_n=2\cdot 5^n$  

Zbadajmy iloraz:

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2\cdot 5^{n+1}}{2\cdot 5^n}=\frac{2\cdot 5^n\cdot 5}{2\cdot 5^n}=\frac{10}{2}=5>1$  

Ciąg rosnący.

 

$d)a_n=\frac{4}{5^{2n}}$  

Zbadajmy iloraz:

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{4}{5^{2\left(n+1\right)}}}{\frac{4}{5^{2n}}}=\frac{4}{5^{2n+2}}\cdot \frac{5^{2n}}{4}=\frac{4}{5^{2n}\cdot 25}\cdot \frac{5^{2n}}{4}=\frac{1}{25}<1$  

Ciąg malejący.

 

$e)a_n=3\cdot 2^{n+1}$  

Zbadajmy iloraz:

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{3\cdot 2^{n+2}}{3\cdot 2^{n+1}}=\frac{2^{n+1}\cdot 2}{2^{n+1}}=2>1$  

Ciąg rosnący.

 

$f)a_n={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^{3n-1}$  

Zbadajmy iloraz:

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^{3\left(n+1\right)-1}}{{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^{3n-1}}={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^{3\left(n+1\right)-1-\left(3n-1\right)}={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^{3n+3-1-3n+1}={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^3<1$  

Ciąg malejący.