Ustal graficznie liczbę rozwiązań ...- Zadanie 6: MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

$a)$

$2 sin (x + \frac{π}{3}) = \frac{1}{2} t g x - 1$

Narysujmy w jednym układzie współrzędnych funkcje:

$f (x) = 2 sin (x + \frac{π}{3})$

$g (x) = \frac{1}{2} t g x - 1$

Aby narysować wykres funkcji f należy narysować:

$y_{1} = sin x$

$y_{2} = sin (x + \frac{π}{3}) przesuwaj ą c o wektor [- \frac{π}{3}, 0]$

$y_{3} = 2 sin (x + \frac{π}{3}) rozci ą gaj ą c wykres y_{2} wzd ł u \overset{z}{˙} osi OY$

Aby narysować wykres funkcji g należy narysować:

$y_{1} = t g x$

$y_{2} = \frac{1}{2} t g x \overset{s}{ˊ} cie \overset{s}{ˊ} niaj ą c wykres y_{1} wzd ł u \overset{z}{˙} osi OY$

$y_{3} = \frac{1}{2} t g x - 1 przesuwaj ą c o wektor [0, - 1]$

Rysując w jednym układzie współrzędnych otrzymujemy:

Zatem w przedziale $⟨ 0, π ⟩$ istnieją dokładnie dwa rozwiązania.

$b)$

$2 - 3 cos x = 2 t g (x - \frac{π}{4})$

Narysujmy w jednym układzie współrzędnych funkcje:

$f (x) = 2 - 3 cos x$

$g (x) = 2 t g (x - \frac{π}{4})$

Aby narysować wykres funkcji f należy narysować:

$y_{1} = cos x$

$y_{2} = - cos x przekszta ł caj ą c wykres y_{1} wzgl ę dem osi OX$

$y_{3} = - 3 cos x rozci ą gaj ą c wykres y_{2} wzd ł u \overset{z}{˙} osi OY$

$y_{4} = - 3 cos x + 2 przesuwaj ą c o wektor [0, 2]$

Aby narysować wykres funkcji g należy narysować:

$y_{1} = t g x$

$y_{2} = t g (x - \frac{π}{4}) przesuwaj ą c o wektor [\frac{π}{4}, 0]$

$y_{3} = 2 t g (x - \frac{π}{4}) rozci ą gaj ą c wykres y_{2} wzd ł u \overset{z}{˙} osi OY$

Rysując w jednym układzie współrzędnych otrzymujemy:

Zatem w przedziale $⟨ 0, π ⟩$ istnieją dokładnie trzy rozwiązania.

$c)$

$3 t g x - 2 = \frac{1}{2} ct g (x + \frac{π}{4})$

Narysujmy w jednym układzie współrzędnych funkcje:

$f (x) = 3 t g x - 2$

$g (x) = \frac{1}{2} ct g (x + \frac{π}{4})$

Aby narysować wykres funkcji f należy narysować:

$y_{1} = t g x$

$y_{2} = 3 t g x rozci ą gaj ą c wykres y_{2} wzd ł u \overset{z}{˙} osi OY$

$y_{3} = 3 t g x - 2 przesuwaj ą c o wektor [0, - 2]$

Aby narysować wykres funkcji g należy narysować:

$y_{1} = ct g x$

$y_{2} = ct g (x + \frac{π}{4}) przesuwaj ą c o wektor [- \frac{π}{4}, 0]$

$y_{3} = \frac{1}{2} ct g (x + \frac{π}{4}) \overset{s}{ˊ} cie \overset{s}{ˊ} niaj ą c wykres y_{2} wzd ł u \overset{z}{˙} osi OY$

Rysując w jednym układzie współrzędnych otrzymujemy:

Zatem w przedziale $⟨ 0, π ⟩$ istnieją dokładnie dwa rozwiązania.

$d)$

$2 ct g x + 2 = \frac{1}{2} sin (x - \frac{π}{2})$

Narysujmy w jednym układzie współrzędnych funkcje:

$f (x) = 2 ct g x + 2$

$g (x) = \frac{1}{2} sin (x - \frac{π}{2})$

Aby narysować wykres funkcji f należy narysować:

$y_{1} = ct g x$

$y_{2} = 2 ct g x rozci ą gaj ą c wykres y_{2} wzd ł u \overset{z}{˙} osi OY$

$y_{3} = 2 ct g x + 2 przesuwaj ą c o wektor [0, 2]$

Aby narysować wykres funkcji g należy narysować:

$y_{1} = sin x$

$y_{2} = sin (x - \frac{π}{2}) przesuwaj ą c o wektor [\frac{π}{2}, 0]$

$y_{3} = \frac{1}{2} sin (x - \frac{π}{2}) \overset{s}{ˊ} cie \overset{s}{ˊ} niaj ą c wykres y_{2} wzd ł u \overset{z}{˙} osi OY$

Rysując w jednym układzie współrzędnych otrzymujemy:

Zatem w przedziale $⟨ 0, π ⟩$ istnieje dokładnie jedno rozwiązanie.

Magdalena Matusik

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.