$a)3x{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2=-3{\left(x+1\right)}^2+6\frac{3}{4}x-10\frac{8}{9}$

$x=-1\frac{2}{3}=-\frac{5}{3}\to L=3\left(-\frac{5}{3}\right){\left(\left(-\frac{5}{3}\right)-\frac{1}{2}\right)}^2=-5\cdot \frac{169}{36}=-\frac{845}{36}$

                                               $P=-3({\left(-1\frac{2}{3}+1\right)}^2+\frac{27}{4}\cdot \left(-\frac{5}{3}\right)-\frac{98}{9}=\frac{4}{9}-\frac{45}{4}-\frac{98}{9}=-\left(\frac{94}{9}+\frac{45}{4}\right)=-\frac{376+405}{36}=-\frac{781}{36}\ne L$   

$x=-1\to L=3\left(-1\right){\left(\left(-1\right)-\frac{1}{2}\right)}^2=-3\cdot \frac{9}{4}=-\frac{27}{4}$

                            $P=-3{\left(-1+1\right)}^2+\frac{27}{4}\cdot \left(-1\right)-10\frac{8}{9}=-\frac{27}{4}-10\frac{8}{9}\ne L$  

  $x=0\to L=3\cdot 0\cdot {\left(0-\frac{1}{2}\right)}^2=0$  

                          $P=-3{\left(0+1\right)}^2+6\frac{3}{4}\cdot 0-10\frac{8}{9}=-3-10\frac{8}{9}\ne L$  

$x=\frac{1}{2}\to L=3\left(\frac{1}{2}\right){\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)}^2=0$ $x=\frac{1}{2}\to L=3\left(\frac{1}{2}\right){\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)}^2=0$

                         $P=-3{\left(\frac{1}{2}+1\right)}^2+\frac{27}{4}\cdot \frac{1}{2}-10\frac{8}{9}=-3\cdot \frac{27}{4}+\frac{27}{8}-10\frac{8}{9}<0$  

$b)2x{\left(3x+2\right)}^2-8x=24\left(x-1\right)\left(x+1\right)+6$

$x=-1\frac{2}{3}=-\frac{5}{3}\to L=2\left(-\frac{5}{3}\right){\left(3\left(-\frac{5}{3}\right)+2\right)}^2-8\left(-\frac{5}{3}\right)=-\frac{10}{3}\cdot 9=-30$

                   $P=24\left(-1\frac{2}{3}-1\right)\left(-1\frac{2}{3}+1\right)+6=24\cdot \left(-\frac{8}{3}\right)\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)+6=\frac{146}{3}$  

$x=-1\to L=2\left(-1\right){\left(3\left(-1\right)+2\right)}^2-8\left(-1\right)=-2\cdot 1+8=6$

                $P=24\left(-1-1\right)\left(-1+1\right)+6=6$

$x=0\to L=2\cdot 0{\left(3\cdot 0+2\right)}^2-8\cdot 0=0$

              $P=24\left(0-1\right)\left(0+1\right)+6=-18$  

$x=\frac{1}{2}\to L=2\cdot \frac{1}{2}{\left(3\cdot \frac{1}{2}+2\right)}^2-8\cdot \frac{1}{2}=\frac{49}{4}-4=12\frac{1}{2}-4=8\frac{1}{4}$

                $P=24\left(\frac{1}{2}-1\right)\left(\frac{1}{2}+1\right)+6=24\cdot -\left(\frac{1}{2}\right)\cdot \frac{3}{2}+6=-18+6=-12$  

 

$c)x^3+x{\left(x-3\right)}^2=3x\left(3-2x\right)$

$x=-1\frac{2}{3}\to L=-\frac{125}{27}+\left(-\frac{5}{3}\right){\left(\frac{14}{3}\right)}^2=-\frac{125}{27}-\frac{980}{27}=-\frac{1105}{27}$

                                  $P=3\left(-\frac{5}{3}\right)\left(3+2\cdot \frac{5}{3}\right)=-5\cdot \left(\frac{19}{3}\right)=-\frac{855}{27}$    

$x=-1\to L=-1-{\left(-1-3\right)}^2=-17$

                            $P=-3\left(3+2\right)=-15$  

$x=0\to L=0P=0$

$x=\frac{1}{2}\to L=\frac{1}{8}+\frac{1}{2}\cdot \frac{25}{4}=\frac{26}{8}$

 

                          $P=3\cdot \frac{1}{2}\left(3-2\cdot \frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2}\cdot 2=3$  

 

$d){\left(2x^2-1\right)}^2-8x^3+4x^2=\left(2x^2-1\right)\left(2x^2+1\right)+1$

$x=-1\frac{2}{3}\to L={\left(\frac{50}{9}-1\right)}^2+8\cdot \frac{125}{27}+4\cdot \frac{25}{9}=\frac{1681}{81}+\frac{1000}{27}+\frac{100}{9}=\frac{1681+3000+900}{81}=\frac{5581}{81}$

 

                                $P=\left(2\cdot \frac{25}{9}-1\right)\left(\frac{50}{9}+1\right)+1=\frac{2419}{81}+1=\frac{2500}{81}$  

$x=-1\to L=1+8+4=13$

                            $P=1\cdot 3+1=4$  

$x=0\to L=1,P=\left(-1\right)\cdot 1+1=0$

$x=\frac{1}{2}\to L=\frac{1}{4}-1+1=\frac{1}{4}$

                        $P=\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot \frac{3}{2}+1=-\frac{3}{4}+1=\frac{1}{4}$