$\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\left(a^4+1\right)\left(a^8+1\right)-a^{16}=\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)\left(a^4+1\right)\left(a^8+1\right)-a^{16}=\left(a^4-1\right)\left(a^4+1\right)\left(a^8+1\right)-a^{16}=\left(a^8-1\right)\left(a^8+1\right)-a^{16}=a^{16}-1-a^{16}=-1$