Wyznaczmy środki boków AB i BC:

$P=S_{\text{AB}}=\left(\frac{-1+2}{2},\frac{-3+\left(-1\right)}{2}\right)=\left(\frac{1}{2},-2\right)$  

$Q=S_{\text{BC}}=\left(\frac{2+\left(-2\right)}{2},\frac{-1+5}{2}\right)=\left(0,2\right)$  

 

• Wyznaczmy równanie prostej AB:

$y=ax+b$  

$\{\begin{array}{l}f\left(-1\right)=-3\\ f\left(2\right)=-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-a+b=-3\\ 2a+b=-1\end{array}$  

$\underline{\underline{-}}$ $\underline{\underline{-}}$  

$-3a=-2$  

$a=\frac{2}{3}$  

stąd

$\frac{4}{3}+b=-1$  

$b=-\frac{7}{3}$  

$y=\frac{2}{3}x-\frac{7}{3}$  

 

Równanie prostej prostopadłej do prostej AB przechodzącej przez punkt P:

$y=-\frac{3}{2}x+p$  

$-2=-\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}+p$  

$-2=-\frac{3}{4}+p$  

$p=-\frac{5}{4}$  

czyli

$y=-\frac{3}{2}x-\frac{5}{4}$  

 

• Wyznaczmy równanie prostej BC:

$y=cx+d$  

$\{\begin{array}{l}f\left(2\right)=-1\\ f\left(-2\right)=5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}2c+d=-1\\ -2c+d=5\end{array}$  

$\underline{\underline{+}}$  

$2d=4$  

$d=2$  

stąd

$2c+2=-1$  

$2c=-3$  

$c=-\frac{3}{2}$  

czyli

$y=-\frac{3}{2}x+2$  

 

Równanie prostej prostopadłej do prostej BC przechodzącej przez punkt Q:

$y=\frac{2}{3}x+q$  

$2=\frac{2}{3}\cdot 0+q$  

$q=2$  

a więc

$y=\frac{2}{3}x+2$  

 

Wyznaczmy punkt przecięcia się symetralnych:

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{3}{2}x-\frac{5}{4}\\ y=\frac{2}{3}x+2\end{array}$  

$-\frac{3}{2}x-\frac{5}{4}=\frac{2}{3}x+2\mid \cdot 12$   

$-18x-15=8x+24$  

$-26x=39$  

$x=-\frac{3}{2}$  

czyli

$y=-\frac{3}{2}\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)-\frac{5}{4}=\frac{9}{4}-\frac{5}{4}=1$  

 

Punkt przecięcia symetralnych ma współrzędne:

$\left(-\frac{3}{2},1\right)$