$a)$  

Weźmy kilka sum trzech kolejnych liczb naturalnych: 

$1+2+3=6$  

$2+3+4=9$  

$3+4+5=12$  

$4+5+6=15$   

$5+6+7=18$  

 

Jak widać, otrzymujemy wynik podzielny przez 3.

WNIOSEK:

Suma trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 3.

 

Dla dociekliwych - uzasadnienie, dlaczego tak się dzieje:

Mamy trzy kolejne liczby naturalne.

Pierwsza z nich jest najmniejsza.

Druga z nich jest o 1 większa od najmniejszej.

Trzecia z nich jest o 2 większa od najmniejszej.

Zatem na sumę tych liczb składa się:

3 razy najmniejsza liczba  + 1 +2, czyli razem 3 razy najmniejsza liczba + 3

Trzykrotność najmniejszej liczby jest podzielna przez 3,
trójka także jest podzielna przez 3, a jeśli obydwa składniki dzielą się przez 3,
to cała suma dzieli się przez 3. 

$\underline{\underline{}}$  

$b)$  

Sprawdźmy kilka iloczynów trzech kolejnych liczb naturalnych: 

$1\cdot 2\cdot 3=6$  

$2\cdot 3\cdot 4=24$  

$3\cdot 4\cdot 5=60$  

$4\cdot 5\cdot 6=120$  

$5\cdot 6\cdot 7=210$  

 

Każdy z otrzymanych iloczynów jest podzielny przez 6. 

 

WNIOSEK: 

Iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez 6. 

 

Dla dociekliwych - uzasadnienie, dlaczego tak się dzieje:

Wśród trzech kolejnych liczb naturalnych jedna na pewno dzieli się przez 2
(co druga liczba naturalna jest podzielna przez 2) i jedna na pewno dzieli się przez 3
(co trzecia liczba naturalna dzieli się przez 3,
więc wśród trzech liczb na pewno znajduje się taka liczba).
Jeśli w iloczynie jedna liczba dzieli się przez 2 i jedna dzieli się przez 3,
to cały iloczyn musi być podzielny przez 6. 

$\underline{\underline{}}$  

$c)$  

Weźmy kilka sum dwóch kolejnych liczb naturalnych, gwiazdką oznaczymy te wyniki, które są podzielne przez 3:

$1+2=3\left(\ast \right)$  

$2+3=5$  

$3+4=7$  

$4+5=9\left(\ast \right)$  

$5+6=11$  

$6+7=13$  

$7+8=15\left(\ast \right)$  

Można zauważyć, że suma dwóch kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 3,
jeśli pierwsza przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1, a druga przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2. 

 

  $\underline{\underline{}}$  

 

$d)$  

Weźmy kilka iloczynów dwóch kolejnych liczb naturalnych,
gwiazdką oznaczymy te wyniki, które są podzielne przez 6: 

$1\cdot 2=2$  

$2\cdot 3=6\left(\ast \right)$  

$3\cdot 4=12\left(\ast \right)$  

$4\cdot 5=20$  

$5\cdot 6=30\left(\ast \right)$  

$6\cdot 7=42\left(\ast \right)$  

$7\cdot 8=56$  

Można zauważyć, że iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez 6,
jeśli jedna z tych liczb jest podzielna przez 3 (wśród 2 liczb jedna na pewno
dzieli się przez 2, więc jeśli zadbamy o to, że jedna z nich jest podzielna przez 3,
to całość jest podzielna przez 6).