Matematyka

Zbadaj, czy suma trzech kolejnych liczb naturalnych 4.33 gwiazdek na podstawie 6 opinii
  1. Szkoła podstawowa
  2. 5 Klasa
  3. Matematyka

Zbadaj, czy suma trzech kolejnych liczb naturalnych

projekt
 Zadanie

1
 Zadanie
2
 Zadanie
3
 Zadanie
4
 Zadanie

`a)` 

Weźmy kilka sum trzech kolejnych liczb naturalnych: 

`1+2+3=6` 

`2+3+4=9` 

`3+4+5=12` 

`4+5+6=15`  

`5+6+7=18` 

 

Jak widać, otrzymujemy wynik podzielny przez 3.

WNIOSEK:

Suma trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 3.

 

Dla dociekliwych - uzasadnienie, dlaczego tak się dzieje:

Mamy trzy kolejne liczby naturalne.

Pierwsza z nich jest najmniejsza.

Druga z nich jest o 1 większa od najmniejszej.

Trzecia z nich jest o 2 większa od najmniejszej.

Zatem na sumę tych liczb składa się:

3 razy najmniejsza liczba  + 1 +2, czyli razem 3 razy najmniejsza liczba + 3

Trzykrotność najmniejszej liczby jest podzielna przez 3, trójka także jest podzielna przez 3, a jeśli oba składniki dzielą się przez 3, to cała suma dzieli się przez 3. 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

 

`b)` 

Sprawdźmy kilka iloczynów trzech kolejnych liczb naturalnych: 

`1*2*3=6` 

`2*3*4=24` 

`3*4*5=60` 

`4*5*6=120` 

`5*6*7=210` 

 

Każdy z otrzymanych iloczynów jest podzielny przez 6. 

 

WNIOSEK: 

Iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez 6. 

 

 

Dla dociekliwych - uzasadnienie, dlaczego tak się dzieje:

Wśród trzech kolejnych liczb naturalnych jedna na pewno dzieli się przez 2 (co druga liczba naturalna jest podzielna przez 2) i jedna na pewno dzieli się przez 3 (co trzecia liczba naturalna dzieli się przez 3, więc wśród trzech liczb na pewno znajduje się taka liczba). Jeśli w iloczynie jedna liczba dzieli się przez 2 i jedna dzieli się przez 3, to cały iloczyn musi być podzielny przez 6. 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

 

`c)` 

Weźmy kilka sum dwóch kolejnych liczb naturalnych, gwiazdką oznaczymy te wyniki, które są podzielne przez 3:

`1+2=3\ \ \ (**)` 

`2+3=5` 

`3+4=7` 

`4+5=9\ \ \ (**)` 

`5+6=11` 

`6+7=13` 

`7+8=15\ \ \ (**)` 

 

Można zauważyć, że suma dwóch kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 3, jeśli pierwsza przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1, a druga przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2. 

 

 

` `

` `  `ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

 

`d)` 

 

Weźmy kilka iloczynów dwóch kolejnych liczb naturalnych, gwiazdką oznaczymy te wyniki, które są podzielne przez 6: 

`1*2=2` 

`2*3=6\ \ \ (**)` 

`3*4=12\ \ \ (**)` 

`4*5=20` 

`5*6=30\ \ \ (**)` 

`6*7=42\ \ \ (**)` 

`7*8=56` 

 

Można zauważyć, że iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez 6, jeśli jedna z tych liczb jest podzielna przez 3 (wśród 2 liczb jedna na pewno dzieli się przez 2, więc jeśli zadbamy o to, że jedna z nich jest podzielna przez 3, to całość jest podzielna przez 6). 

DYSKUSJA
Informacje
Matematyka z pomysłem 5
Autorzy: Barbara Dubiecka-Kruk, Piotr Piskorski, Anna Dubiecka, Ewa Malicka
Wydawnictwo: WSiP
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Dodawanie ułamków zwykłych
  1. Dodawanie ułamków o jednakowych mianownikach – dodajemy liczniki, a mianownik pozostawiamy bez zmian.

    Przykład:

    • $$4/7+6/7={10}/7=1 3/7$$

      Uwaga

    Gdy w wyniku dodania ułamków otrzymamy ułamek niewłaściwy, warto wyłączyć z niego całości (jak w przykładzie powyższym).

    Często ułamek otrzymany w wyniku można skrócić, czyli podzielić licznik i mianownik przez tę samą liczbę (jak w przykładzie poniżej).

  2. Dodawanie ułamków o różnych mianownikach – najpierw sprowadzamy je do wspólnego mianownika (czyli tak je rozszerzamy lub skracamy, aby otrzymać w mianowniku taką samą liczbę), następnie wykonujemy dodawanie.

    Przykład:

    • $$3/10+ 1/5=3/{10}+ {1•2}/{5•2}=3/{10}+ 2/{10}=5/{10}={5÷5}/{10÷5}=1/2$$
       
  3. Dodawanie liczb mieszanych, których składniki ułamkowe mają takie same mianowniki.

    • I sposób – zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, a następnie wykonujemy dodawanie ułamków o jednakowych mianownikach.

      $$2 1/3+ 1 1/3= {2•3+1}/3+{1•3+1}/3=7/3+4/3={11}/3=3 2/3$$
       
    • II sposób – oddzielnie dodajemy składniki całkowite i oddzielnie składniki ułamkowe, które mają identyczne mianowniki.

      Przykład:

      $$2 1/3+ 1 1/3= 2 + 1/3+ 1 + 1/3= 3 + 2/3= 3 2/3$$
       
  4. Dodawanie liczb mieszanych, których składniki ułamkowe mają różne mianowniki.

    • I sposób – zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, następnie sprowadzamy je do wspólnego mianowniku, a potem wykonujemy dodawanie.

      $$2 1/3+ 1 1/2= {2•3+1}/3+{1•2+1}/2=7/3+3/2={7•2}/{3•2}+{3•3}/{2•3}={14}/6 + 9/6={23}/6=3 5/6$$
       
    • II sposób – oddzielnie dodajemy składniki całkowite i oddzielnie składniki ułamkowe, które musimy najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika.

      Przykład:

      $$2 1/3+ 1 1/2= 2 + 1/3+ 1 + 1/2= 3 + 1/3+ 1/2= 3 + {1•2}/{3•2}+ {1•3}/{2•3}= 3 + 2/6+ 3/6= 3 + 5/6= 3 5/6$$
 
Dodawanie ułamków dziesiętnych

Dodawanie ułamków dziesiętnych sposobem pisemnym jest bardzo podobne do dodawania liczb naturalnych:

  1. Ułamki podpisujemy tak, aby przecinek znajdował się pod przecinkiem ( cyfra jedności pod cyfrą jedności, cyfra dziesiątek pod cyfrą dziesiątek, cyfra setek pod cyfrą setek itd.);
  2. W miejsce brakujących cyfr po przecinku można dopisać zera;
  3. Ułamki dodajemy tak jak liczby naturalne, czyli działania prowadzimy od kolumny prawej do lewej i wykonujemy je tak, jak gdyby nie było przecinka;
  4. W uzyskanym wyniku stawiamy przecinek tak, aby znajdował się pod napisanymi już przecinkami.

Przykład:

  • $$ 1,57+7,6=?$$
    dodawanie-ulamkow-1 

    $$1,57+7,6=8,17 $$

Zobacz także
Udostępnij zadanie