Matematyka

Artur rozwiązał na tablicy zadanie 4.29 gwiazdek na podstawie 7 opinii
  1. Szkoła podstawowa
  2. 5 Klasa
  3. Matematyka

Artur rozwiązał na tablicy zadanie

25
 Zadanie

26
 Zadanie
27
 Zadanie
zad.
 Zadanie

`a)`

Dzieląc przez 3 mamy trzy możliwe reszty: 0, 1 lub 2. Jeśli mamy liczbę podzielną przez 3 (czyli reszta wynosi 0), to jeśli zwiększymy ją o 1, to reszta będzie wynosić 1, jeśli zwiększymy ją o 2, to reszta wyniesie 2. Przy zwiększaniu liczby reszty pojawiają się kolejno: 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2 i tak dalej. 

 

Dzieląc przez 9 mamy dziewięć możliwych reszt: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Jeśli mamy liczbę podzielną przez 9 (czyli reszta wynosi 0), to jeśli zwiększymy tą liczbę o 1, to reszta wyniesie 1. Przy zwiększaniu liczby reszty pojawiają się kolejno: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i tak dalej. 

 

 

`b)`

Do uzyskania reszty nie jest konieczne wykonywanie dzielenia.

`17:3`

Musimy wiedzieć o ile większa jest liczba 17 od najbliższej liczby podzielnej przez 3 (mniejszej od 17). Suma cyfr liczby 17 wynosi 1+7=8. Gdyby wynosiła 6, to liczba dzieliłaby się przez 2, czyli ta suma jest o 2 za duża, co oznacza, że liczba 17 jest o 2 większa od liczby podzielnej przez 3, czyli reszta z dzielenia jest równa 2. 

 

`111:3`

Suma cyfr liczby 111 jest równa 1+1+1=3, więc liczba 111 jest podzielna przez 3, czyli reszta wynosi 0. 

 

 

`87:9`

Musimy wiedzieć, o ile większa jest liczba 87 od najbliższej liczby podzielnej przez 9. Suma cyfr liczby 87 jest równa 8+7=15. Gdyby ta suma wynosiła 9, to liczba dzieliłaby się przez 9, ale suma jest o 6 większa, czyli liczba 87 jest o 6 większa od liczby podzielnej przez 9. Oznacza to, że reszta z dzielenia jest równa 6. 

 

 

`678:9`

Suma cyfr tej liczby jest równa 6+7+8=21, jest więc o 3 większa od sumy 18 (która jest podzielna przez 9). Oznacza to, że liczba 678 jest o 3 większa od liczby podzielnej przez 9, czyli reszta z dzielenia jest równa 3. 

DYSKUSJA
Informacje
Matematyka z pomysłem 5
Autorzy: Barbara Dubiecka-Kruk, Piotr Piskorski, Anna Dubiecka, Ewa Malicka
Wydawnictwo: WSiP
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Mnożenie i dzielenie

Kolejnymi działaniami, które poznasz są mnożenie i dzielenie.

  1. Mnożenie to działanie przyporządkowujące dwóm liczbom a i b liczbę c = a•b (lub a×b). Mnożone liczby nazywamy czynnikami, a wynik mnożenia iloczynem.

    mnożenie liczb

    Mnożenie jest:

    1. przemienne (czynniki można zamieniać miejscami) , np. 3 • 2 = 2 • 3
    2. łączne (gdy mamy większą liczbę czynników możemy je mnożyć w dowolnej kolejności),
      np. $$(3 • 5) • 2 = 3 • (5 • 2)$$
    3. rozdzielne względem dodawania i odejmowania
      np. 2 • (3 + 4) = 2 • 3 + 2 • 4
      2 • ( 4 - 3) = 2 • 4 - 2 • 3
      Wykorzystując łączność mnożenia można zdecydowanie łatwiej uzyskać iloczyn np.: 4 • 7 • 5 = (4 • 5) • 7 = 20 • 7 = 140
  2. Dzielenie
    Podzielić liczbę a przez b oznacza znaleźć taką liczbę c, że $$a = b • c$$, np. $$12÷3 = 4$$, bo $$12 = 3 • 4$$.
    Wynik dzielenia nazywamy ilorazem, a liczby odpowiednio dzielną i dzielnikiem.

    dzielenie liczb

    Dzielenie podobnie jak odejmowanie nie jest ani przemienne, ani łączne
     

  Ciekawostka

Znak x (razy) został wprowadzony w 1631 przez angielskiego matematyka W. Oughtreda, a symbol ͈„•” w 1698 roku przez niemieckiego filozofa i matematyka G. W. Leibniz'a.

System rzymski

System rzymski jest systemem zapisywania liczb, który w przeciwieństwie do zapisu pozycyjnego, pozwala zapisać liczby przy pomocy znaków o zawsze ustalonej wartości.

Wyróżniamy cyfry podstawowe:

  • I = 1
  • X = 10
  • C = 100
  • M = 1000

oraz cyfry pomocnicze:

  • V = 5
  • L = 50
  • D = 500

Korzystając z systemu rzymskiego liczbę naturalną przedstawiamy jako ciąg powyższych cyfr uporządkowanych od wartości największej do najmniejszej, a wartość liczby jest równa sumie wartości poszczególnych cyfr.

Przykłady:

  • XV → 10+5=15
  • XXXII → 10+10+10+1+1=32
  • CXXVII → 100+10+10+5+1+1=127
  • MDLVII → 1000+500+50+5+1+1=1557

W celu uproszczenia wielu zapisów dopuszcza się umieszczenie cyfry podstawowej o mniejszej wartości przed cyfrą o większej wartości. W takim jednak przypadku wartość mniejszej cyfry uważamy za ujemną.

Przykłady:

  • IX → -1+10=10-1=9
  • CD → -100+500=500-100=400
  • XLII → -10+50+1+1=50-10+2=42
  • CML → -100+1000+50=1000-100+50=950

Ważne jest, że w systemie rzymskim możemy zapisać maksymalnie 3 takie same cyfry podstawowe (czyli I, X, C, M) obok siebie. Cyfry pomocnicze (czyli V, L, D) nie mogą występować obok siebie.

Przykład:

  • XXXII → 10+10+10+1+1=32

  Ciekawostka

System rzymski pochodzi od wysoko rozwiniętej cywilizacji Etrusków (ok. 500 r. p.n.e.). Początkowo zapisywano liczby za pomocą pionowych kresek I,II,III,IIII,IIIII,... .

Rzymianie przejęli cyfry od Etrusków i poddali je pewnym modyfikacjom oraz udoskonaleniom, co dało początki dzisiaj znanemu systemowi rzymskiemu.

Cyfr rzymskich używano na terenie imperium aż do jego upadku w V w. n.e. W średniowieczu stały się standardowym systemem liczbowym całej łacińskiej Europy, jednak pod koniec tej epoki coraz częściej używano już cyfr arabskich, prostszych i wygodniejszych do obliczeń oraz zapisywania dużych liczb. System rzymski stopniowo wychodził z codziennego użycia, chociaż do dziś jest powszechnie znany w Europie i stosowany do wielu celów.

Zobacz także
Udostępnij zadanie