$\text{a)}$  Dla  $0^{\circ }<\alpha <{180}^{\circ }$  sinus kąta  $\alpha$  jest nieujemny.    

Będziemy korzystać z jedynki trygonometrycznej -> otrzymamy dwa rozwiązania - jedno dodatnie i jedno ujemne. 

Ujemne odrzucimy zgodnie z powyższym. 

$\cos \alpha =\frac{\sqrt{5}}{4}$  

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha$  

${\sin }^2\alpha =1-\frac{5}{16}$  

${\sin }^2\alpha =\frac{11}{16}$  

$\sin \alpha =\frac{\sqrt{11}}{4}\vee \sin \alpha =-\frac{\sqrt{11}}{4}<0-$  to odrzucamy

Dla  $\sin \alpha =\frac{\sqrt{11}}{4}$  obliczamy tangens kąta  $\alpha .$  

$\text{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{\sqrt{11}}{4}}{\frac{\sqrt{5}}{4}}=\frac{\sqrt{11}}{4}\cdot \frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{55}}{5}$  

Otrzymaliśmy:

$\sin \alpha =\frac{\sqrt{11}}{4}$  

$\text{tg}\alpha =\frac{\sqrt{55}}{5}$  

 

$\text{b)}$  Dla  $0^{\circ }<\alpha <{180}^{\circ }$  cosinus kąta  $\alpha$  może być zarówno dodatni, jak i ujemny.

Jako rozwiązanie, po skorzystaniu z jedynki trygonometrycznej, otrzymamy dwa przypadki.

$\sin \alpha =\frac{1}{3}$  

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha$  

${\cos }^2\alpha =1-\frac{1}{9}$  

${\cos }^2\alpha =\frac{8}{9}$  

$\cos \alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3}\vee \cos \alpha =-\frac{2\sqrt{2}}{3}$   

Dla  $\cos \alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3}$  obliczamy tangens kąta  $\alpha .$  

$\text{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$  

Dla  $\cos \alpha =-\frac{2\sqrt{2}}{3}$  obliczamy tangens kąta  $\alpha .$  

$\text{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{1}{3}}{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}=-\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{2\sqrt{2}}=-\frac{1}{2\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{4}$  

Otrzymaliśmy dwa rozwiązania:

$\{\begin{array}{l}\cos \alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3}\\ \text{tg}\alpha =\frac{\sqrt{2}}{4}\end{array}\vee \{\begin{array}{l}\cos \alpha =-\frac{2\sqrt{2}}{3}\\ \text{tg}\alpha =-\frac{\sqrt{2}}{4}\end{array}$   

 

$\text{c)}$  Dla  $0^{\circ }<\alpha <{180}^{\circ }$  sinus kąta  $\alpha$  jest dodatni, więc, skoro tangens jest ujemny, to cosinus jest ujemny.

W takim razie po skorzystaniu z  jedynki trygonometrycznej powinniśmy odrzucić dodatnie rozwiązanie.   

$\text{tg}\alpha =-6$  

$\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-6$  

$\sin \alpha =-6\cos \alpha$  

Zapisujemy jedynkę trygonometryczną i wstawiamy w miejsce sinusa wyżej wyznaczoną wartość.

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$      

${\left(-6\cos \alpha \right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$  

$36{\cos }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

$37{\cos }^2\alpha =1\text{/}:37$  

${\cos }^2\alpha =\frac{1}{37}$  

$\cos \alpha =-\frac{1}{\sqrt{37}}\vee \cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{37}}>0-$  odrzucamy 

Dla  $\cos \alpha =-\frac{1}{\sqrt{37}}$  obliczamy sinus kąta  $\alpha .$  

$\sin \alpha =-6\cos \alpha$  

$\sin \alpha =-6\cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{37}}\right)=\frac{6}{\sqrt{37}}$  

Otrzymaliśmy:

$\sin \alpha =\frac{6}{\sqrt{37}}\cdot \frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}=\frac{6\sqrt{37}}{37}$  

$\cos \alpha =-\frac{1}{\sqrt{37}}\cdot \frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}=-\frac{\sqrt{37}}{37}$