Przyrównajmy do siebie wzory funkcji:

$f\left(x\right)=g\left(x\right)$  

$\left|x-3\right|=-\frac{1}{3}x+4$  

Z definicji wartości bezwzględnej:

$x-3=-\frac{1}{3}x+4\vee x-3=-\left(-\frac{1}{3}x+4\right)$  

$\frac{4}{3}x=7\vee x-3=\frac{1}{3}x-4$  

$x=7\cdot \frac{3}{4}\vee \frac{2}{3}x=-1$  

$x=\frac{21}{4}\vee x=-\frac{3}{2}$  

 

Obliczmy drugie współrzędne punktów:

$f\left(\frac{21}{4}\right)=\left|\frac{21}{4}-3\right|=\left|\frac{9}{4}\right|=\frac{9}{4}$  

 

$f\left(-\frac{3}{2}\right)=\left|-\frac{3}{2}-3\right|=\left|-\frac{9}{2}\right|=\frac{9}{2}$  

 

Punktami przecięcia się wykresów obu funkcji są:

$A=\left(-\frac{3}{2},\frac{9}{2}\right)$  

$B=\left(\frac{21}{4},\frac{9}{4}\right)$  

 

 

Jest to trójkąt prostokątny o przyprostokątnych |AC| , |BC|. Obliczmy długości boków:

 

• Bok AC:

$\left|AC\right|=\sqrt{{\left(x_C-x_A\right)}^2+{\left(y_C-y_A\right)}^2}==\sqrt{{\left(3-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)}^2+{\left(0-\frac{9}{2}\right)}^2}=\sqrt{{\left(\frac{9}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{9}{2}\right)}^2}=$  

$\sqrt{\frac{81}{4}+\frac{81}{4}}=\sqrt{\frac{81}{4}\cdot 2}=\frac{9}{2}\sqrt{2}$  

 

• Bok BC:

$\left|BC\right|=\sqrt{{\left(x_C-x_B\right)}^2+{\left(y_C-y_B\right)}^2}=\sqrt{{\left(3-\frac{21}{4}\right)}^2+{\left(0-\frac{9}{4}\right)}^2}=\sqrt{{\left(-\frac{9}{4}\right)}^2+{\left(-\frac{9}{4}\right)}^2}=$  

$\sqrt{\frac{81}{16}+\frac{81}{16}}=\sqrt{\frac{81}{16}\cdot 2}=\frac{9}{4}\sqrt{2}$  

 

Pole trójkąta:

$P=\frac{1}{2}\cdot \left|AC\right|\cdot \left|BC\right|=\frac{1}{2}\cdot \frac{9}{2}\sqrt{2}\cdot \frac{9}{4}\sqrt{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{81}{8}\cdot 2=\frac{81}{8}=10\frac{1}{8}$