$a)$  

$\text{Zauwaz˙my, z˙e troˊjkąty o identycznych bokach są podobne w skali 1:1, czyli:}$  

$c=d$  

$a=b$  

 

$\text{Oznaczmy przez}{X}_1\text{miarę kąta przy boku długosˊci x w troˊjkącie o kącie ostrym}\alpha .$    

$\text{Oznaczmy przez}{X}_2\text{miarę kąta przy boku długosˊci x w troˊjkącie o kącie ostrym}\beta .$  

$\text{Oznaczmy przez}{Y}_1\text{miarę kąta przy boku długosˊci y w troˊjkącie o kącie ostrym}\alpha .$  

$\text{Oznaczmy przez}{Y}_2\text{miarę kąta przy boku długosˊci y w troˊjkącie o kącie ostrym}\beta .$   

 

 

$\pi ={180}^{\circ }-X_1-X_2$    

$\gamma ={180}^{\circ }-X_1-X_2$  

$\pi =\gamma$  

 

$\delta ={180}^{\circ }-Y_1-Y_2$  

$\lambda ={180}^{\circ }-Y_1-Y_2$  

$\delta =\lambda$  

 

$\text{Szukana figura to roˊwnoległobok}.$    

 

$b)$  

$\text{Suma katoˊw wewnętrznych w dowolnym czworokącie jest roˊwna 360 stopni.}$   

$\text{Policzmy sumę stopni kątoˊw wewnetrznych figury o czerwonych krawędziach.}$  

 

$4\cdot \left({180}^{\circ }-\alpha -\beta \right)={360}^{\circ }$  

$\alpha +\beta ={90}^{\circ }$  

 

$\text{Czyli kaz˙dy kąt szukanej figury ma miarę:}$  

${180}^{\circ }-90={90}^{\circ }$   

$\text{Nasz figura ma wszystkie kąty proste - jest prostokątem.}$      

 

$c)$  

$\text{Zauwaz˙my, z˙e czerwona figura podzieliła nasz prostokąt na cztery idnetyczne troˊjkaty prostokątne.}$  

$\text{Z tw. Pitagorasa:}$  

$z^2=a^2+b^2$  

$x^2=a^2+b^2$  

$v^2=a^2+b^2$  

$p^2=a^2+b^2$  

 

$z=x=v=p$  

$\text{Zauwaz˙my, z˙e wszystkie 4 troˊjkąty mają jeden kąt i dwa boki identyczne. Czyli są przystające.}$  

$\text{Tym samym pozostałe kąty mają identycznej miary.}$  

 

$\gamma ={180}^{\circ }-2\alpha$  

$\delta ={180}^{\circ }-2\alpha$  

$\delta =\gamma$  

 

$\lambda ={180}^{\circ }-2\beta$  

$\pi ={180}^{\circ }-2\beta$  

$\lambda =\pi$  

 

$\text{Podana figura jest rombem.}$  

 

$d)$  

$\text{Zauwaz˙my, z˙e boki figury czerwonej będą roˊwnej długosˊci.}$  

$\text{(bok jest przeciwprostokątną troˊjkąta prostokątnego roˊwnoramiennego.)}$    

$z=x\sqrt{2}$  

 

$\text{Troˊjkąt prostokątny, roˊwnoramienny posiada katy o mierze}{90}^{\circ }{,45}^{\circ }{,45}^{\circ }.$  

$\text{Dodatkowo kaz˙dy z kątoˊw wewnętrznych czerwonej figury jest roˊwny:}$  

${180}^{\circ }-{45}^{\circ }-{45}^{\circ }={90}^{\circ }$  

$\text{Łatwo zauwaz˙ycˊ, z˙e czerwona figura posiada dwie pary bokoˊw roˊwnoległych.}$   

$\text{Podsumowując jest to kwadrat.}$