$n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

 

$a)$  

$a_n=\sqrt{3}n+1$  

$a_{n+1}-a_n=\sqrt{3}n+\sqrt{3}+1-\sqrt{3}n-1=\sqrt{3}>0$  

Rozważany ciąg jest rosnący.

 

$b)$  

$a_n=\frac{n-3}{4}$  

$a_{n+1}-a_n=\frac{n-2}{4}-\frac{n-3}{4}=\frac{n-2-n+3}{4}=\frac{1}{4}>0$  

Rozważany ciąg jest rosnący.

 

$c)$  

$a_n=n^2-1000$  

$a_{n+1}-a_n={\left(n+1\right)}^2-1000-n^2+1000=n^2+2n+1-n^2=2n+1$  

Dla n naturalnego otrzymane wyrażenie jest dodatnie, zatem ciąg jest rosnący.

 

$d)$  

$a_n=n^2-n-2$  

$a_{n+1}-a_n={\left(n+1\right)}^2-\left(n+1\right)-2-n^2+n+2=n^2+2n+1-n-1-n^2+n=2n$  

Dla n naturalnego otrzymane wyrażenie jest dodatnie, zatem ciąg jest rosnący.

 

$e)$  

$a_n=3-\frac{2}{n}$  

$a_{n+1}-a_n=3-\frac{2}{n+1}-3+\frac{2}{n}=\frac{-2n}{n\left(n+1\right)}+\frac{2\left(n+1\right)}{n\left(n+1\right)}=\frac{2}{n\left(n+1\right)}$  

Dla n naturalnego otrzymane wyrażenie jest dodatnie, zatem ciąg jest rosnący.

 

$f)$  

$a_n=\frac{1}{1-3n}$  

$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{1-3n-3}-\frac{1}{1-3n}=\frac{1-3n}{\left(-3n-2\right)\left(1-3n\right)}-\frac{-3n-2}{\left(-3n-2\right)\left(1-3n\right)}=$  

$=\frac{3}{9n^2+3n-2}$      

Dla n naturalnego i dodatniego otrzymane wyrażenie jest dodatnie, zatem ciąg jest rosnący.

 

$g)$  

$a_n=1-\frac{4}{n+1}$  

$a_{n+1}-a_n=1-\frac{4}{n+2}-1+\frac{4}{n+1}=-\frac{4\left(n+1\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}+\frac{4\left(n+2\right)}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}=\frac{4}{n^2+3n+2}$  

Dla n naturalnego otrzymane wyrażenie jest dodatnie, zatem ciąg jest rosnący. 

 

$h)$  

$a_n=\frac{n+1}{n+3}$  

$a_{n+1}-a_n=\frac{n+2}{n+4}-\frac{n+1}{n+3}=\frac{\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{\left(n+3\right)\left(n+4\right)}-\frac{\left(n+1\right)\left(n+4\right)}{\left(n+3\right)\left(n+4\right)}=$  

$=\frac{n^2+5n+6-n^2-5n-4}{\left(n+3\right)\left(n+4\right)}=\frac{2}{n^2+7n+12}$  

Dla n naturalnego otrzymane wyrażenie jest dodatnie, zatem ciąg jest rosnący.