Przedstaw wyrażenie w postaci logarytmu ...- Zadanie 1: MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Rozwiązanie

W zadaniu korzystamy z twierdzenia o zmianie podstawy logarytmu:

Jeśli a,b,c są liczbami dodatnimi oraz a≠1, b≠1, to:

$lo g_{b} a = \frac{lo g _{c} a}{lo g _{c} b}$

$a) lo g_{16} 3 = \frac{lo g _{2} 3}{lo g _{2} 16} = \frac{lo g _{2} 3}{4} = \frac{1}{4} lo g_{2} 3 = lo g_{2} 3^{\frac{1}{4}} = lo g_{2} 43$

$b) lo g_{0, 5} 7 = \frac{lo g _{2} 7}{lo g _{2} 0 , 5} = \frac{lo g _{2} 7}{lo g _{2} ( \frac{1}{2} )} = \frac{lo g _{2} 7}{- 1} = - lo g_{2} 7 = lo g_{2} 7^{- 1} = lo g_{2} (\frac{1}{7})$

$c) lo g_{2} 11 = \frac{lo g _{2} 11}{lo g _{2} 2} = \frac{lo g _{2} 11}{\frac{1}{2}} = 2 lo g_{2} 11 = lo g_{2} 11^{2} = lo g_{2} 121$

$d) lo g_{\frac{1}{8}} 9 = \frac{lo g _{2} 9}{lo g _{2} ( \frac{1}{8} )} = \frac{lo g _{2} 9}{- 3} = - \frac{1}{3} lo g_{2} 9 = lo g_{2} 9^{- \frac{1}{3}} = lo g_{2} 3 \frac{1}{9}$

$e) lo g_{4} 6 + lo g_{8} 6 = \frac{lo g _{2} 6}{lo g _{2} 4} + \frac{lo g _{2} 6}{lo g _{2} 8} = \frac{lo g _{2} 6}{2} + \frac{lo g _{2} 6}{3} = \frac{1}{2} lo g_{2} 6 + \frac{1}{3} lo g_{2} 6 =$

$= lo g_{2} 6^{\frac{1}{2}} + lo g_{2} 6^{\frac{1}{3}} = lo g_{2} (6^{\frac{1}{2}} \cdot 6^{\frac{1}{3}}) = lo g_{2} 6^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} = lo g_{2} 6^{\frac{5}{6}}$

$f) lo g_{\frac{1}{2}} 3 + lo g_{\frac{1}{4}} 3 + lo g_{0, 125} 3 = \frac{lo g _{2} 3}{lo g _{2} ( \frac{1}{2} )} + \frac{lo g _{2} 3}{lo g _{2} ( \frac{1}{4} )} + \frac{lo g _{2} 3}{lo g _{2} 0 , 125} = \frac{lo g _{2} 3}{- 1} + \frac{lo g _{2} 3}{- 2} + \frac{lo g _{2} 3}{lo g _{2} ( \frac{1}{8} )} =$

$= - lo g_{2} 3 - \frac{1}{2} lo g_{2} 3 + \frac{lo g _{2} 3}{- 3} = lo g_{2} 3^{- 1} + lo g_{2} 3^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{3} lo g_{2} 3 = lo g_{2} 3^{- 1} + lo g_{2} 3^{- \frac{1}{2}} + lo g_{2} 3^{- \frac{1}{3}} =$

$= lo g_{2} (3^{- 1} \cdot 3^{- \frac{1}{2}} \cdot 3^{- \frac{1}{3}}) = lo g_{2} 3^{- 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3}} = lo g_{2} 3^{- \frac{11}{6}}$

Justyna Kowal

Nauczycielka matematyki

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