Matematyka

Autorzy:Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska, Grzegorz Janocha

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2016

Promień okręgu jest równy r. Wyznacz miary 4.6 gwiazdek na podstawie 5 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Promień okręgu jest równy r. Wyznacz miary

3
 Zadanie

4
 Zadanie
5
 Zadanie
1
 Zadanie
2
 Zadanie
3
 Zadanie

a)

Trójkąt wyznaczony przez kąt środkowy i cięciwę łączącą punkty przecięcia ramion tego kąta z okręgiem jest równoboczny, ponieważ ramiona tego kąta to promienie, a długość cięciwy jest również- jak oznaczono na rysunku- o długości promienia. 

Kąty wewnętrzne trójkąta równobocznego wynoszą 60o, dlatego:

`alpha=60^o`

`beta=60^o`

Kąt γ to kąt wpisany oparty na tym samym łuku co kąt środkowy ß, ma więc miarę dwa razy od niego mniejszą.

`gamma=60^o:2=30^o`

b)

I sposób

Podobnie jak w podpunkcie a) kąt α to kąt wewnętrzny trójkąta równobocznego

`alpha=60^o`

Natomiast trójkąt którego kątami wewnętrznymi są kąty γ i ß jest równoramienny, a co za tym idzie, kąty leżące przy jego ramionach - γ i ß- są równe.

`gamma=beta`

Trzeci kąt tego trójkąta równoramiennego- oznaczmy jako δ- jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku co kąt wpisany α, zatem ma miarę dwa razy większą niż α.

`delta=60^o*2=120^o`

Teraz korzystamy z sumy miar kątów w trójkącie, która wynosi zawsze 180o. Sumujemy kąt δ, gamma, ß.

`delta+gamma+beta=180^o`

Wstawiamy gamma=ß i delta=60o

` 120^o +beta+beta=180^o`

`120^o +2beta=180^o`

`2beta=180^o-120^o`

`2beta=60^o` `/:2`

`beta=30^o`

II sposób

Podobnie jak w podpunkcie a) kąt α to kąt wewnętrzny trójkąta równobocznego

`alpha=60^o`

Trójkąt o kątach wewnętrznych α i ß to trójkąt prostokątny (jest to trójkąt oparty na średnicy tego okręgu). Kąt który w sumie z kątem γ buduje kąt prosty jest również kątem wewnętrznym trójkąta równobocznego, zatem

`90^o=60^o +gamma`

`90^o-60^o=gamma`

`gamma=30^o`

Natomiast trójkąt którego kątami wewnętrznymi są kąty γ i ß jest równoramienny, a co zatym idzie, kąty leżące przy jego ramionach -zatem γ i ß- są równe.

`gamma=beta`

c)

 

Czworokąt o kącie wewnętrznym α jest rombem, ponieważ wszystkiego jego boki są długości r. Naprzeciwległe kąty rombu mają równe miary, zatem oznaczamy ten kąt również jako α.

Po dorysowaniu promienia w jednym miejscu zauważamy, że romb ten można podzielić na dwa trójkąty równoboczne, zatem kąt α budują dwa kąty wewnętrzne trójkąta równobocznego- kąty o mierze 60o.

`alpha=2*60^o=120^o`

Obliczamy teraz kąt ß korzystając z własności, że kąt pełny ma miarę 360o.

`alpha+beta=360^o`

`120^o +beta=360^o`

`beta=360^o-120^o`

`beta=240^o`

Kąt γ to kąt wpisany oparty na tym samym łuku co kąt środkowy α.

`gamma=120^o:2=60^o`