$a)$  

$1+2+3\dots +49+50=\underset{\text{25 składnikoˊw}}{\underbrace{\left(50+1\right)+\left(49+2\right)+\left(48+3\right)\dots +\left(26+25\right)}}=25\cdot 51=1275$  

---

$b)$  

Osobno pokażemy, że wzór jest prawdziwy, gdy n jest parzyste oraz, gdy jest nieparzyste.

Przypadek I - n jest parzyste.

$1+2+..+n=\underset{\frac{n}{2}\text{składnikoˊw}}{\underbrace{\left(n+1\right)+\left(\left(n-1\right)+2\right)+\dots +\left(\left(\frac{n}{2}+1\right)+\frac{n}{2}\right)}}=\frac{n}{2}\cdot \left(n+1\right)=\frac{\left(n+1\right)n}{2}$                  

Przypadek II - n jest nie parzyste.

$1+2+\dots +n=\underset{\frac{n+1}{2}\text{składnikoˊw}}{\underbrace{n+\left(\left(n-1\right)+1\right)+\left(\left(n-2\right)+2\right)+\dots +\left(\frac{n+1}{2}+\frac{n-1}{2}\right)}}=\frac{n+1}{2}\cdot n=\frac{\left(n+1\right)n}{2}$     

---

Aby lepiej zrozumieć dowód dla n nieparzystego rozważmy sumę 1+2+3+...+n dla n=11. Wówczas:

$\underset{\text{11 składnikoˊw}}{\underbrace{1+2+3+\dots +11}}=\underset{\text{6 składnikoˊw, czyli}\frac{12}{2}=\frac{11+1}{2}}{\underbrace{11+\left(10+1\right)+\left(9+2\right)+\left(8+3\right)+\left(7+4\right)+\left(6+5\right)}}=11\cdot \frac{11+1}{2}$   

Mamy:

$6=\frac{11+1}{2}=\frac{n+1}{2}$  

$5=\frac{11-1}{2}=\frac{n-1}{2}$  

dlatego ostatnim ze składników sumy  $n+\left(\left(n-1\right)+1\right)+\left(\left(n-2\right)+2\right)+\dots +\left(\frac{n+1}{2}+\frac{n-1}{2}\right)$  jest  $\frac{n+1}{2}+\frac{n-1}{2}.$