$a)$

Przypuścmy, że √3 jest liczbą niewymierną. 

Wtedy istnieją liczby całkowite p i r takie, że: 

$p,r\in C,r\ne 0oraz\sqrt{3}=\frac{p}{r}$

$\sqrt{3}=\frac{p}{r}{\mid }^2$

$3=\frac{p^2}{r^2}$

$3r^2=p^2$

Ta równość nie może zachodzić, ponieważ oznaczałaby ona, że po lewej stronie czynnik 3 występuje nieparzystą liczbę razy, a po prawej występuje parzystą liczbę razy, co jest sprzecznością. Oznacza to, że √3 jest liczbą niewymierną.

$b)$

Przypuścmy, że √5 jest liczbą niewymierną. 

Wtedy istnieją liczby całkowite p i r takie, że:

$p,r\in C,r\ne 0,oraz\sqrt{5}=\frac{p}{r}$

$\sqrt{5}=\frac{p}{r}{\mid }^2$

$5=\frac{p^2}{r^2}$

$5r^2=p^2$

Ta równość nie może zachodzić, ponieważ oznaczałaby ona, że po lewej stronie czynnik 5 występuje nieparzystą liczbę razy, a po prawej występuje parzystą liczbę razy, co jest sprzecznością. Oznacza to, że √5 jest liczbą niewymierną.

$c)$

Przypuścmy, że √6 jest liczbą niewymierną. 

Wtedy istnieją liczby całkowite p i r takie, że:

$p,r\in C,r\ne 0oraz\sqrt{6}=\frac{p}{r}$

$\sqrt{6}=\frac{p}{r}{\mid }^2$

$6=\frac{p^2}{r^2}$

$6r^2=p^2$

$2\cdot 3r^2=p^2$

Ta równość nie może zachodzić, ponieważ oznaczałaby ona, że po lewej stronie czynniki 2 i 3 występują nieparzystą liczbę razy, a po prawej występują parzystą liczbę razy, co jest sprzecznością. Oznacza to, że √6 jest liczbą niewymierną.