Aby określić, która z siatek graniastosłupów ma największe pole powierzchni musimy obliczyć pole powierzchni każdej siatki. W tym celu musimy zmierzyć długości odpowiednich krawędzi. Pamiętamy, że dwie krateczki na rysunku (0,5 cm) odpowiadają 1 cm (czyli zmierzone przez nas długości na rysunku musimy pomnożyć razy 2).

Siatka 1

Obliczamy pole trójkątów, które stanowią podstawy graniastosłupa. Wiemy, że są to trójkąty porostokątne, dla których podstawa ma długość 2 cm a wysokość na nią opuszczona wynosi 1,5 cm. Obliczmy pole takiego trójkąta:

$P_t=\frac{a\cdot h}{2}=\frac{2\text{cm}\cdot 1,5\text{cm}}{2}=1,5{\text{cm}}^2$  

Mamy dwa takie trójkaty, więc ich łączne pole jest równe:

$P_{2t}=2\cdot 1,5{\text{cm}}^2=3{\text{cm}}^2$  

Następnie obliczamy pole powierzchni najmniejszego z prostokątów, o wymiarach 1,5 cm x 3 cm

$P_1=1,5\text{cm}\cdot 3\text{cm}=4,5{\text{cm}}^2$  

Liczymy teraz pole drugiego prostokąta, o wymiarach 2 cm x 3 cm

$P_2=2\text{cm}\cdot 3\text{cm}=6{\text{cm}}^2$ $P_2=2\text{cm}\cdot 3\text{cm}=6{\text{cm}}^2$  

Liczymy pole ostatniego prostokąta, o wymiarach 2,5 cm x 3 cm

$P_3=2,5\text{cm}\cdot 3\text{cm}=7,5{\text{cm}}^3$  

Sumujemy wszystkie pola:

$P_p=3{\text{cm}}^2+4,5{\text{cm}}^2+6{\text{cm}}^2+7,5{\text{cm}}^2=21{\text{cm}}^2$  

Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa wynosi 21 cm²

 

Siatka 2

Podstawą graniastosłupa, którego siatkę mamy tutaj przedstawioną jest trapez prostokątny. Jego podstawy mają odpowiednio długości 1 cm i 2,5 cm a wysokość jest równa 2 cm. Obliczmy pole powierzchni tego trapezu:

$P_t=\frac{\left(a+b\right)\cdot h}{2}$  

$P_t=\frac{\left(1\text{cm}+2,5\text{cm}\right)\cdot 2\text{cm}}{2}=\frac{3,5\text{cm}\cdot 2\text{cm}}{2}=3,5{\text{cm}}^2$  

Mamy dwa takie trapezy w naszej siatce, obliczmy sumę ich pól powierzchni:

$P_{2t}=2\cdot 3,5{\text{cm}}^2=7{\text{cm}}^2$  

Następnie obliczamy pole powierzchni najmniejszego prostokąta o wymiarach 1 cm x 3,5 cm

$P_1=1\text{cm}\cdot 3,5\text{cm}=3,5{\text{cm}}^2$  

Obliczamy pole powierzchni kolejnego prostokąta o wymiarach 2 cm x 3,5 cm

$P_2=2\text{cm}\cdot 3,5\text{cm}=7{\text{cm}}^2$  

Obliczamy pole powierzchni kolejnego prostokąta o wymiarach 2,5 cm x 3,5 cm

$P_3=2,5\text{cm}\cdot 3\text{cm}=8,75{\text{cm}}^2$  

Obliczamy pole powierzchni kolejnego prostokąta o wymiarach 2,5 cm x 3,5 cm

$P_4=2,5\text{cm}\cdot 3,5\text{cm}=8,75\text{cm}$  

Sumujemy wszystkie pola:

$P_p=7{\text{cm}}^2+3,5{\text{cm}}^2+7{\text{cm}}^2+2\cdot 8,75{\text{cm}}^2=35{\text{cm}}^2$  

Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa wynosi 35 cm²

 

Siatka 3

Siatka naszego graniastosłupa składa się z trzech par identycznych prostokątów. Pierwsza para prostokątów składa się z prostokątów o wymiarach 3 cm x 1,5 cm. Obliczmy pole tego prostokąta:

$P_1=3\text{cm}\cdot 1,5\text{cm}=4,5{\text{cm}}^2$  

Druga para prostokątów składa się z prostokątów o wymiarach 2 cm x 3 cm. Obliczmy pole tego prostokąta:

$P_2=2\text{cm}\cdot 3\text{cm}=6{\text{cm}}^2$  

Trzecia para prostokątów składa się z prostokątów o wymiarach 2 cm x 1,5 cm. Obliczmy pole tego prostokąta:

$P_3=2\text{cm}\cdot 1,5\text{cm}=3{\text{cm}}^2$  

Wiemy, że mamy po dwa prostokąty każdego rodzaju. Obliczmy pole powierzchni tego graniastosłupa:

$P_p=2\cdot \left(4,5{\text{cm}}^2+6{\text{cm}}^2+3{\text{cm}}^2\right)=2\cdot 13,5{\text{cm}}^2=27{\text{cm}}^2$  

Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa wynosi 27 cm²

 

Odpowiedź: Największe pole powierzchni posiada więc graniastosłup drugi, o podstawie trapezu