Właściwości liczb pierwszych:

• Podstawowa definicja - liczba jest pierwsza, jeśli nie ma innych dzielników oprócz 1 i samej siebie. Na przykład, liczba 11 jest pierwsza, ponieważ nie dzieli się przez żadną inną liczbę oprócz 1 i 11.
• Liczba 2 jest jedyną liczbą pierwszą parzystą. Wszystkie inne liczby pierwsze są liczbami nieparzystymi, ponieważ każda liczba parzysta większa niż 2 jest podzielna przez 2.
• Nieskończoność liczb pierwszych - istnieje nieskończoność liczb pierwszych, co zostało udowodnione przez Euklidesa w III wieku p.n.e. Dowód ten opierał się na sprzeczności — zakładając, że liczby pierwsze są skończone, można wykazać, że prowadzi to do sprzeczności logicznej.
• Liczby pierwsze i ich rola w rozkładzie na czynniki pierwsze - każda liczba naturalna większa niż 1 może być jednoznacznie rozłożona na iloczyn liczb pierwszych. Jest to tzw. rozkład na czynniki pierwsze (algorytm ten jest podstawą w wielu dziedzinach matematyki, w tym w kryptografii).
• Próba podzielności - istnieją różne reguły prób podzielności, które pozwalają łatwo stwierdzić, czy dana liczba jest podzielna przez liczbę pierwszą. Na przykład, liczba jest podzielna przez 3, jeśli suma jej cyfr jest podzielna przez 3.
• Przestrzenie liczb pierwszych - liczby pierwsze stają się rzadsze w miarę wzrostu, ale wciąż pojawiają się w coraz większych liczbach. Istnieją różne hipotezy i twierdzenia matematyczne dotyczące rozmieszczenia liczb pierwszych, takie jak hipoteza Riemanna.

Zastosowanie liczb pierwszych:

• Kryptografia - liczby pierwsze są kluczowe w algorytmach kryptograficznych, zwłaszcza w algorytmach takich jak RSA. Wykorzystuje się w nich fakt, że rozkładanie dużych liczb na czynniki pierwsze jest bardzo trudne, co zapewnia bezpieczeństwo w komunikacji.
• Teoria liczb - liczby pierwsze są podstawowym obiektem badań w teorii liczb, jednej z gałęzi matematyki. Badania dotyczące rozmieszczenia liczb pierwszych oraz ich właściwości prowadzą do odkryć w wielu innych dziedzinach matematyki.
• Algorytmy komputerowe - liczby pierwsze są wykorzystywane w różnych algorytmach komputerowych, zwłaszcza przy generowaniu liczb losowych oraz w algorytmach do znajdowania największych wspólnych dzielników (algorytm Euklidesa).
• Rozkład na czynniki pierwsze - rozkładanie liczb na czynniki pierwsze jest fundamentalnym narzędziem w matematyce, a także w informatyce, np. w analizie algorytmów, kompresji danych czy rozwiązywaniu problemów związanych z podzielnością.
• Funkcje matematyczne - istnieją różne funkcje matematyczne związane z liczbami pierwszymi, takie jak funkcja licząca liczbę liczb pierwszych mniejszych od danej liczby (funkcja π(x)), która jest używana m.in. w analizie rozkładu liczb pierwszych.
• Teoria grafów i algorytmy optymalizacyjne - liczby pierwsze mają zastosowanie w problemach związanych z teorią grafów, w tym w algorytmach do poszukiwania najkrótszych ścieżek czy w zagadnieniach związanych z sieciami komputerowymi.