Dane:

$v_p=17\frac{\text{m}}{\text{s}}$

$s=1600\text{m}$

$F_{\text{op}}=6,2\text{kN}=6200\text{N }$

Szukane:

$m=\text{?}$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie masy lokomotywy przy założeniu, że na lokomotywę działa siła oporów ruchu o stałej wartości. Rozważmy ruch lokomotywy.

Ruch lokomotywy

Przed działaniem siły oporów ruchu lokomotywa poruszała się ze stałą prędkością, czyli posiadała energię kinetyczną.

ENERGIA KINETYCZNA Energię kinetyczną ciała obliczyć możemy za pomocą wzoru: $E_k=\frac{m{v}^2}{2}$ gdzie: $E_k$ - energia kinetyczna ciała,  $m$ - masa ciała,  $v$ - wartość prędkości, z jaką ciało się porusza.

Zapiszemy, że początkową energię kinetyczną opisuje wzór:

$E_{k.p}=\frac{m{v}_p^2}{2}$

Następnie na lokomotywę zaczyna działać siła oporów ruchu ${\vec{F}}_{\text{op}}$, która powoduje, po czasie $t$, zatrzymanie się lokomotywy. Wówczas wartość prędkości końcowej lokomotywy jest równa zero:

$v_k=0$

Co za tym idzie, energia kinetyczna lokomotywy jest zerowa:

$E_{k.k}=0$

Wynika więc z tego, że w wyniku wykonanej przez siłę ${\vec{F}}_{\text{op}}$ pracy energia kinetyczna lokomotywy się zmieniła. Ilość wykonanej pracy przez siłę ${\vec{F}}_{\text{op}}$ jest równa zmianie energii kinetycznej lokomotywy:

$W=\Delta E_k$

gdzie:

$W$ - praca, jaką wykonała siła ${\vec{F}}_{\text{op}}$,

$\Delta E_k$ - zmiana energii kinetycznej lokomotywy.

Zmiana energii kinetycznej lokomotywy jest równa różnicy energii kinetycznej lokomotywy na końcu oraz na początku ruchu:

$\Delta E_k=E_{k.k}-E_{k.p}$

$\Delta E_k=0-\frac{m{v}_p^2}{2}$

$\Delta E_k=-\frac{m{v}_p^2}{2}$

Teraz przejdźmy do wyznaczenia pracy, jaką wykonała siła ${\vec{F}}_{\text{op}}$, aby zatrzymać lokomotywę.

Praca siły ${\vec{F}}_{\text{op}}$

PRACA MECHANICZNA Pracę wykonaną przy przemieszczeniu ciała wyrażamy jako: $W=Fr\cos \left(\angle \left(\vec{F},\vec{r}\right)\right)$ gdzie: $F$ - wartość siły działającej na ciało,  $r$ - wartość wektora przesunięcia,  $\angle \left(\vec{F},\vec{r}\right)$ - kąt pomiędzy wektorem siły, a przemieszczenia.

Zauważmy, że w trakcie działania siły ${\vec{F}}_{\text{op}}$ lokomotywa przebyła drogę $s$. Jednak zwrot przemieszczenia lokomotywy jest przeciwny do zwrotu wektora siły ${\vec{F}}_{\text{op}}$, zatem kąt między wektorem siły ${\vec{F}}_{\text{op}}$ a wektorem przemieszczenia lokomotywy wynosi:

$\alpha =180^{\circ }$

Wiemy, że:

$\cos 180^{\circ }=-1$

Wówczas:

$W=F_{\text{op}}s\left(-1\right)$

$W=-F_{\text{op}}s$

Wracamy do równości wykonanej pracy i zmiany energii kinetycznej:

$W=\Delta E_k$

Podstawiamy wyznaczone wzory:

$-F_{\text{op}}s=-\frac{m{v}_p^2}{2}|\cdot \left(-1\right)$

$F_{\text{op}}s=\frac{m{v}_p^2}{2}$

Przekształcamy powyższą zależność tak, aby otrzymać wzór na masę lokomotywy:

$\frac{m{v}_p^2}{2}=F_{\text{op}}s|\cdot 2$

$m{v}_p^2=2F_{\text{op}}s|:v_p^2$

$m=\frac{2F_{\text{op}}s}{v_p^2}$

Podstawiamy dane do wzoru:

$m=\frac{2\cdot 6200\text{N}\cdot 1600\text{m}}{{\left(17\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2}=$

$=\frac{2\cdot 6200\cdot 1600}{289}\frac{\text{N}\cdot \text{m}}{\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}=$

$=\frac{12400\cdot 1600}{289}\text{kg}\cdot \frac{\cancel{\text{m}}}{\xcancel{{\text{s}}^2}}\cdot \cancel{\text{m}}\cdot \frac{\xcancel{{\text{s}}^2}}{\cancel{{\text{m}}^2}}=$

$=\frac{19840000}{289}\text{kg}=$

$\approx 68650,52\text{kg}=$

$\approx 68,7\cdot 10^3\text{kg}=68,7\text{t}$

 Odpowiedź: Masa lokomotywy wynosi około $68,7\text{t}$ (lub $68,7\cdot 10^3\text{kg}$).